Séance 9-2-1 : Arithmétique dans Z - Partie 2 (Cours)

Sommaire

IV- L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

4-1/ Classes d'équivalence

4-2/ Opérations dans l'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

V- Systèmes de numération

5-1/ Représentation d'un entier naturel dans un système de numération

5-2- Comparaison de deux nombres présentés dans le même système de numération

5-3/ Addition et multiplication de deux nombres présentés dans le même système de numération

5-4/ Critères de divisibilité sur les nombres 3;4;5;9;11;25 dans le système décimal

IV- L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

4-1/ Classes d'équivalence

Définition 7

Soit $n$ un élément de $\mathrm{\mathbb{N}}*$.

L’ensemble des entiers relatifs qui ont le même reste $r$ de la division euclidienne par $n$ est appelé la classe d'équivalence de $r$, et on la note $\overline{r}$.

C’est la classe d’équivalence de $r$ modulo $n$ dans $\mathrm{\mathbb{Z}}$.

Généralisation : Soit $a\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ et $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.

La classe d’équivalence de $a$ modulo $n$ est l’ensemble défini par :

$\overline{a}=\left\{x\in \mathrm{\mathbb{Z}}/x\equiv a \left[n\right]\right\}=\left\{a+kn/k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

IV- L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

4-1/ Classes d'équivalence

Applications

Déterminer la classe d'équivalence modulo $12$ de chacun des nombres :

$116 ; 1979 ; 2018$

IV- L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

4-1/ Classes d'équivalence

Proposition 8

Soit $n$ un élément de $\mathrm{\mathbb{N}}*$.

Pour tout $x\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, on désigne par $\overline{x}$ la classe d'équivalence de $x$ modulo $n$. Alors:

1) $\left(\forall a\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)\left(\exists !r\in \left\{0;1;...;n-1\right\}\right) \overline{a}=\overline{r}$

2) Si $0\le r<n$ et $0\le r\text{'}<n$ alors : $\overline{r}=\overline{r\text{'}}\iff r=r\text{'}$ et $r\ne r\text{'}\iff \overline{r}\cap \overline{r\text{'}}=\varnothing$

3) $\left(\forall x\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right)\left(\exists !r\in \left\{0;1;...;n-1\right\}\right) x\in \overline{r}$ ($r$ étant le reste de la division euclidienne de $x$ par $n$)

4) $\mathrm{\mathbb{Z}}=\overline{0}\cup \overline{1}\cup \overline{2}\cup ...\cup \overline{n-1}$

5) $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}=\left\{\overline{0};\overline{1};\overline{2};...;\overline{n-1}\right\}$

IV- L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

4-2/ Opérations dans l'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

Définition 8

Soit $n$ un élément de $\mathrm{\mathbb{N}}*$.

On définit l’addition dans $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$ comme suit : Pour tous $\overline{x}$ et $\overline{y}$ de $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$, $\overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}$

On définit la multiplication dans $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$ comme suit : Pour tous $\overline{x}$ et $\overline{y}$ de $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$, $\overline{x}\times \overline{y}=\overline{x\times y}$

IV- L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

4-2/ Opérations dans l'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

Applications

Résoudre dans $\mathrm{\mathbb{Z}}/6\mathrm{\mathbb{Z}}$ les équations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \overline{4}x=\overline{2} \\ \overline{)2} \overline{3}{x}^2+x+\overline{1}=\overline{0} \end{gathered}$$

IV- L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

4-2/ Opérations dans l'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}/n\mathrm{\mathbb{Z}}$

Théorème 17

Soit $p$ un nombre premier positif. Alors :

1) $\left(\forall \overline{x}\in \mathrm{\mathbb{Z}}/p\mathrm{\mathbb{Z}}-\left\{\overline{0}\right\}\right)\left(\exists \overline{y}\in \mathrm{\mathbb{Z}}/p\mathrm{\mathbb{Z}}-\left\{\overline{0}\right\}\right)\overline{x}\times \overline{y}=\overline{1}$

2) $\left(\forall \left(\overline{x};\overline{y}\right)\in {\left(\mathrm{\mathbb{Z}}/p\mathrm{\mathbb{Z}}\right)}^2\right) \left[\overline{x}\times \overline{y}=\overline{0}\iff \left(\overline{x}=\overline{0} ou \overline{y}=\overline{0}\right)\right]$

V- Systèmes de numération

5-1/ Représentation d'un entier naturel dans un système de numération

Définition 9

La base $b$ d'un système de numération représente le nombre d’unités d'un certain rang, nécessaire pour former une unité de rang immédiatement supérieur.

L’ensemble $B_b=\left\{0;1;...;b-1\right\}$, soit $b$ caractères (chiffres en base 10) quantifie le nombre d’unités d’un rang quelconque.

V- Systèmes de numération

5-1/ Représentation d'un entier naturel dans un système de numération

Théorème 18

Soit $b$ un entier supérieur ou égal à $2$.

Tout entier naturel non nul $n$ peut s'écrire de manière unique sous la forme :

$n=a_m{b}^m+a_{m-1}{b}^{m-1}+...+a_2{b}^2+a_{1}b+a_0$

où $a_0,a_1,...,a_m$ sont des entiers tels que $a_m\ne 0$ et $0\le a_i\le b-1$ pour tout $i\in \left\{0;1;2;...;m\right\}$

On écrit : $n={\overline{a_m{a}_{m-1}....a_1{a}_0}}_{\left(b\right)}$, et on dit qu'on a représenté le nombre $n$ dans le système de numération de base $b$.

V- Systèmes de numération

5-1/ Représentation d'un entier naturel dans un système de numération

Applications

1. Convertir en binaire les nombres suivants :

$97 ; 397 ; 133$

2. Convertir en numération décimale les nombres dont l'écriture en binaire est :

${\overline{101}}_{\left(2\right)} ; {\overline{1101110}}_{\left(2\right)}$

V- Systèmes de numération

5-2- Comparaison de deux nombres présentés dans le même système de numération

Théorème 19

Soit $x$ et $y$ deux entiers naturels représentés dans le même système de numération par :

$x={\overline{a_n{a}_{n-1}....a_1{a}_0}}_{\left(b\right)}$ et $y={\overline{c_m{c}_{m-1}....c_1{c}_0}}_{\left(b\right)}$

1) Si $m>n$ alors $y>x$

2) Si $m=n$ et $c_n=a_n$ et $c_{n-1}=a_{n-1}$ et ... et $c_{i+1}=a_{i+1}$ et $c_i\ne a_i$, alors, l’ordre de $x$ et $y$ est celui de $c_i$ et $a_i$. En particulier, si $c_i>a_i$ alors $y>x$

V- Systèmes de numération

5-3/ Addition et multiplication de deux nombres présentés dans le même système de numération

1) On considère les deux nombres suivants : $x={\overline{5312}}_{\left(6\right)}$ et $x={\overline{214}}_{\left(6\right)}$

On veut représenter le nombre $x+y$ en base $6$.

On a :$x=5\times 6^3+3\times 6^2+6+2$ et $y=2\times 6^2+6+4$

Par conséquent: $x+y=5\times 6^3+5\times 6^2+3\times 6+2={\overline{5530}}_{\left(6\right)}$

On peut représenter le nombre $x+y$ directement en base $6$ en utilisant la méthode vue au primaire « l’addition par retenue » comme suit :

V- Systèmes de numération

5-3/ Addition et multiplication de deux nombres présentés dans le même système de numération

2) On considère les deux nombres suivants : $a={\overline{432}}_{\left(5\right)}$ et $b={\overline{134}}_{\left(5\right)}$

On veut représenter le nombre $a\times b$ en base $5$.

On a : $a=4\times 5^2+3\times 5+2$ et $b=5^2+3\times 5+4$

Par conséquent :

$$\begin{gathered} a\times b=\left(4\times 5^2+3\times 5+2\right)\left(5^2+3\times 5+4\right) \\ a\times b=5^5+3\times 5^4+5^3+4\times 5+3 \\ a\times b={\overline{131043}}_{\left(5\right)} \end{gathered}$$

Tout comme l’addition, on peut représenter le nombre $a\times b$ directement dans en base $5$ en utilisant la méthode de « la multiplication par retenue » comme suit :

V- Systèmes de numération

5-4/ Critères de divisibilité sur les nombres 3;4;5;9;11;25 dans le système décimal

Proposition 9

Soit $x\in \mathrm{\mathbb{N}}$ tel que $x={\overline{a_n{a}_{n-1}....a_1{a}_0}}_{\left(10\right)}=a_n\times {10}^n+a_{n-1}\times {10}^{n-1}+...+a_1.10+a_0$ avec : $a_n\ne 0$ et $0\le a_i\le 10$ pour tout $i\in \left\{0;1;2;...;n\right\}$.

On a alors les équivalences suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} x\equiv 0 \left[5\right]\iff \left(a_0=0 ou a_0=5\right) \\ \overline{)2} x\equiv 0 \left[25\right]\iff {\overline{a_1{a}_0}}_{\left(10\right)}\equiv 0 \left[25\right] \\ \overline{)3} x\equiv 0 \left[4\right]\iff {\overline{a_1{a}_0}}_{\left(10\right)}\equiv 0 \left[4\right] \\ \overline{)4} x\equiv 0 \left[3\right]\iff \sum _{i=0}^n{a}_i\equiv 0 \left[3\right] \\ \overline{)5} x\equiv 0 \left[9\right]\iff \sum _{i=0}^n{a}_i\equiv 0 \left[9\right] \\ \overline{)6} x\equiv 0 \left[11\right]\iff \sum _{i=0}^n{\left(-1\right)}^i{a}_i\equiv 0 \left[11\right] \end{gathered}$$