Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Séance 8 (Les limites d’une fonction numérique)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Sommaire

 

I- Limite infinie d’une fonction en + ou en -

II- Limite finie d’une fonction en + et en -

III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point

3-1/ Limite finie d’une fonction en un point

3-2/ Limite infinie d’une fonction en un point

IV- Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un point

V- Opérations sur les limites

5-1/ Limite d’une somme

5-2/ Limite d’un produit

5-3/ Limite de l’inverse

5-4/ Limite d’un quotient

VI- Limites de fonctions particulières

6-1/ Limite d’une fonction polynôme - Limite d’une fonction rationnelle

6-2/ Limites des fonctions irrationnelles

6-3/ Limites des fonctions trigonométriques

VII- Théorème de comparaison

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

8-5/ Exercice 5

8-6/ Exercice 6

 


I- Limite infinie d’une fonction en + ou en -

 

Activité

Considérons la fonction f définie par : fx=x2

  1. Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé O;i;j
  1. Compléter le tableau suivant :
x -1020 -1010 -10 10 1010 1020
fx            
  1. Que remarquer pour les valeurs de fx quand x prend des valeurs positives de plus en plus grands (c-à-d quand x tend vers +).
  1. Que remarquer pour les valeurs de fx quand x prend des valeurs négatives de plus en plus (c-à-d quand x tend vers -).
  1. Conjecturer les limites suivantes : limx+x3 et limx-x3

 

 

Remarque

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme : [a,+[ a

Si f(x) tend vers + quand x tend vers +, on écrit : limx+f(x)=+ ou lim+f(x)=+

On peut exprimer aussi par des phrases les symboles suivantes :

  • limx+f(x)=-
  • limx-f(x)=+limx-f(x)=- (Il faut que ]-,a]Df).

 

 

Limites usuelles

On admet les limites suivantes :

limx+x=+limx-x=-limx+x2=+limx-x2=+ limx-x3=-limx+x=+limx+xn=+ n*limx-xn=+ si n est paire- si n est impaire

 

II- Limite finie d’une fonction en + ou en -

 

Activité

Considérons la fonction f définie par : fx=1x2

  1. Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé O;i;j
  1. Compléter le tableau suivant :
x -106 -104 -10 10 104 106
fx            
  1. Que remarquer pour les valeurs de fx quand x prend des valeurs positives de plus en plus grands (c-à-d quand x tend vers +).
  1. Que remarquer pour les valeurs de fx quand x prend des valeurs négatives de plus en plus (c-à-d quand x tend vers -).
  1. Conjecturer les limites suivantes : limx+1x3 et limx-1x3

 

 

Remarque

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme : [a,+[ a, et soit l

Si f(x) tend vers le nombre l quand x tend vers +, on écrit : limx+f(x)=l ou lim+f(x)=l

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme : [-,b[ b, et soit l'

Si f(x) tend vers le nombre l' quand x tend vers -, on écrit : limx-f(x)=l' ou lim-f(x)=l'

 

Interprétation géométrique

La courbe Cf se rapproche de la droite d’équation y=l au voisinage de .

 

Propriété 1

limx+1x=0 et limx-1x=0

En général : n* : limx+1xn=0 et  limx-1xn=0

On a aussi : limx+1x=0

 

Propriété 2

Soit f une fonction numérique et l.

- Si f admet en + (ou en -) une limite, alors cette limite est unique.

- limx+f(x)=llimx+f(x)-l=0

- limx-f(x)=llimx-f(x)-l=0

 

III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point

 

3-1/ Limite finie d’une fonction en un point

Définition

Soit a et l et soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme I=]a-r;a+r[r>0, ou sur un intervalle de la forme I=]a-r;a+r[-a.

Si f(x) tend vers l quand x tend vers a alors on note : limxafx=l

 

Soit f une fonction numérique et l.

- Si f admet en + (ou en -) une limite, alors cette limite est unique.

- limx+f(x)=llimx+f(x)-l=0

- limx-f(x)=llimx-f(x)-l=0

 

 

Propriété

Si f admet une limite finie l en a alors cette limite est unique.

 

 

3-2/ Limite infinie d’une fonction en un point

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme I=]a-r;a+r[-a.

Si f(x) tend vers + quand x tend vers a alors on note : limxafx=+

On définie de la même façon : limxafx=-

 

Exercice
  1. Calculer les limites suivantes :

limx12x2-3limx22x2-3limx3x2+14x-2limx1x2-1x-1limx2x2-4x-2

 

III- Limite IV- Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un pointet limite infinie d’une fonction en un point

 

Activité

Soit f la fonction définie par : fx=x-1x+2x-1

  1. Déterminer Df.
  1. Construire la courbe Cf de la fonction f.
  1. À partir de la représentation graphique, que-remarque-t-on pour les valeurs de fx quand x tend vers 1 et x>1
  1. Que-remarque-t-on pour les valeurs de fx quand x tend vers 1 et x<1

 

 

Théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle de centre a, on a :

limxaf(x)=llimxa+f(x)=limxa-f(x)=llimxaf(x)=+limxa+f(x)=limxa-f(x)=+limxaf(x)=-limxa+f(x)=limxa-f(x)=-

V- Opérations sur les limites

 

5-1/ Limite d’une somme

 

 

5-2/ Limite d’un produit

 

 

5-3/ Limite de l’inverse

 

 

5-4/ Limite d’un quotient

 

VI- Limites de fonctions particulières

 

6-1/ Limite d’une fonction polynôme - Limite d’une fonction rationnelle

Propriété

Soient P et Q deux fonctions polynômes et a, alors on a :

- limxaPx=Pa

- Si Qa0, alors : limxaPxQx=PaQa

- Si axn et bxm sont des termes de plus haut degré de P et Q respectivement (a,b et m,n*), alors :

limx+Px=limx+axn et limx+PxQx=limx+axnbxm

 

 

6-2/ Limites des fonctions irrationnelles

Propriété

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme [a,+[, avec x[a,+[ fx0

- Si limx+fx=l et l0, alors : limx+fx=l

- Si limx+fx=+, alors : limx+fx=+

 

6-3/ Limites des fonctions trigonométriques

Propriété

limx0sinxx=1 ; limx0tanxx=1 ; limx01-cosxx2=12a limxacosx=cosa et limxasinx=sinaa-π2+kπ/k limxatanx=tanaa* limx0sinaxx=a et limx0tanaxx=a

 

VII- Théorème de comparaison

 

Théorème

Soit I un intervalle de la forme [a,+[ et l et soient fu et v des fonctions définies sur I :

1 xI fxuxlimx+ux=+limx+fx=+2 xI fxuxlimx+ux=-limx+fx=-3 xI uxfxvxlimx+ux=limx+vx=llimx+fx=l4 xI fx-luxlimx+ux=0limx+fx=l

IIX- Exercices

 

8-1/ Exercice 1

  1. Déterminer les limites suivantes :
1 limx-x4=2 limx+x4=3 limx-x5=4 limx+x5=5 limx-x200=6 limx+x200=7 limx-x201= 8 limx+x201=9 limx-1x3=10 limx+1x3=11 limx-1x4=12 limx+1x4=13 limx+x=14 limx+1x=

 

 

8-2/ Exercice 2

Soit f la fonction définie par : f(x)=2x1x-1

  1. Déterminer Df.
  2. Calculer les limites de f aux bornes de Df.

Soit g la fonction définie par : gx=1x ; x>0gx=x2 ; x0

  1. Déterminer limx0+gx et limx0-gx
  1. Est que la fonction g admet une limite en 0 ?

 

 

8-3/ Exercice 3

  1. Calculer les limites suivantes :
1 limx+-3xx+1=2 limx+4x+1-2x-1=3 limx+x2-x+1-x=4 limx-x2+1+x= 5 limx-1-x+1-2x=6 limx-1x34x2+1=7 limx+x2+x-2x=8 limx-x2+x-x=

 

 

8-4/ Exercice 4

  1. Calculer les limites suivantes :
1 limx0=sin5xx=2 limx0=tanx3x=3 limx0=sin5xsinx=4 limxπ2=1tan2x+1=5 limx0=x+1-1tanx=6 limx0=sinxcos3x=7 limxπ2=cosx1+sinx= 8 limx0sin6x.tanx1-cosx=9 limx+xsin1x=10 limx0sin2x1-cosx=11 limx01-sinxtanx=12 limxπ2-tanx=13 limx0cos6x-3sinx6x-π=14 limxπ2+cosx1-sinx=

 

 

8-5/ Exercice 5

  1. Calculer les limites suivantes :
1 limx2x2+2x+3=2 limx21x2+2x+3=3 limx2x2+2x+3=4 limx0x2+x+1x+1=5 limx3x2-9x-3=6 limx3x3-27x-3=7 limx2+2-xx2-4= 8 limx-1x2+2x+1x2+x=9 limx-1+x3+2x2+2xx+1=10 limx1x4-2x3+x2+x-1x2+x-2=11 limx-3x+12-3x2-9=12 limx3x+1-2x-3=13 limx2x3-8x2-3x+2=14 limx32-xx-32=

 

 

8-6/ Exercice 6

  1. Calculer les limites suivantes :

1 limx+2x2+x-5x-3=2 limx--2x2+x+15x4+x-8=3 limx+2x2-4x+3x2+x+1=4 limx-xx2+1-1x+3=5 limx+1-x2x-6=6 limx+x2+1x=