Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Semestre 1 Devoir 2 Modèle 1

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

I- Exercice 1 (7 pts)

 

On considère ta fonction numérique fn définie sur +* par :

fnx=x-n+n2lnx n*

  1. Étudier les variations de la fonction fn.
  1. Montrer qu'il existe un unique réel strictement positif αn tel que fnαn=0.
  1. Montrer que : n* : 1αne2

 

  1. Montrer que la suite αnn1 est décroissante puis qu’elle est convergente.
  1. Montrer que limn+αn=e2.

 

II- Exercice 2 (10 pts)

 

On considère la fonction f définie sur + par :

fx=lnxln2x+lnx+1 si x>0f0=0

Et soit C sa courbe  représentative dans un repère orthonormé O,i,j.

  1. Calculer limx+x.
  1. Montrer que f est continue à droite en 0.
  1. Étudier la dérivabilité de la fonction f à droite en 0, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
  1. Étudier les variations de la fonction f.
  1. Écrire l'équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 1.
  1. Tracer la courbe C.

Soit g la restriction de f à l'intervalle I=1e;e.

  1. Montrer que g réalise une bijection de I sur un intervalle J à déterminer.
  1. Montrer que g-1 est dérivable en 0, puis déterminer g-1'0.

 

III- Exercice 3 (3 pts)

 

  1. Déterminer les fonctions primitives des fonctions suivantes :

1 fx=1x2-4x+62 gx=x3-4x2+x+1x2-4x+6