Séance 5-2-2 : Fonctions exponentielles - Partie 2 (Exercices)

Sommaire

IV- Exercices II

4-1/ Exercice 2-1

4-2/ Exercice 2-2

4-3/ Exercice 2-3

4-4/ Exercice 2-4

IV- Exercices II

4-1/ Exercice 2-1

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ les équations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} -5\times 4^{x+1}+2\times 4^{-x}=3 \\ \overline{)2} 3^x-5\sqrt{3^x}+4=0 \end{gathered}$$

2. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l'inéquation suivante :

$\log 2+\log \left(4^{x-2}+9\right)\le 1+\log \left(2^{x-2}+1\right)$

IV- Exercices II

4-2/ Exercice 2-2

1. Montrer que pour tout $\left(a,b,c\right)\in {\left({\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right)}^3$ :

$a^{\ln \frac{b}{c}}.b^{\ln \frac{c}{a}}.c^{\ln \frac{a}{b}}=1$

2. Déterminer la dérivée de chacune des fonctions définies par :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^x \\ \overline{)2} g\left(x\right)={\left(3^x+2^x-5^x\right)}^4 \end{gathered}$$

IV- Exercices II

4-3/ Exercice 2-3

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=2^x+2^{\frac{6}{x}}$

1. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ puis montrer que $f$ est strictement décroissante sur $]0;\sqrt{6}]$ et strictement croissante sur $[\sqrt{6};+\infty [$.

2. En déduire que l’équation $f\left(x\right)=12$ admet une solution unique sur $]\sqrt{6};+\infty [$ que l’on déterminera.

IV- Exercices II

4-4/ Exercice 2-4

On considère la fonction numérique définie par : $f\left(x\right)=4^x-2^{x+1}$

1. Déterminer $D_f$ le domaine de définition de la fonction $f$.

2. Calculer les limites de la fonction $f$ aux bornes du domaine de définition.

3. Étudier les variations de la fonction $f$.

4. Écrire l'équation de la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ au point d'abscisse $0$.

5. Construire la courbe ${\mathcal{C}}_f$ dans un repère orthonormé.