Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 5-1-2 : Fonctions exponentielles - Partie 1 (Exercices)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

II- Exercices I

2-1/ Exercice 1-1

2-2/ Exercice 1-2

2-3/ Exercice 1-3

2-4/ Exercice 1-4

 


 

2-1/ Exercice 1-1

n est un entier naturel non nul.

On considère la fonction numérique fn définie sur  par : fnx=x+e-xn

Soit Cn la courbe représentative de fn dans le plan muni d’ un repère orthonormé O,i,j

  1. Calculer limx-fnx et limx+fnx.
  1. Étudier la branche infinie de Cn au voisinage de -.
  1. Montrer que la droite (D) d’équation y=x est une asymptote oblique à la courbe  au voisinage de Cn, puis déterminer la position relative de Cn et (D).
  1. Étudier les variations de fn et dresser son tableau de variations.
  1. Construire la courbe C3. (On prend f3-0,60 et f3-1,50 et ln31,1).
  1. Montrer que pour n3 on a : en<lnn
  1. Montrer que pour n3 l’équation fnx=0 admet exactement deux solutions xn et yn telles que : xn-lnn et -enyn0.
  1. Calculer limn+xn et limn+yn.

On considère la fonction numérique g définie sur [0;+[ par :

gx=-1-xlnx ; x>0g0=-1

  1. Montrer que la fonction g est continue à droite au point 0.
  1. Vérifier que pour n3 on a : g-1xn=lnnxn.
  1. En déduire limn+lnnxn.

 

 

2-2/ Exercice 1-2

Soit n un entier naturel .

On considère la fonction fn définie sur * par : fnx=enxx2

Soit Cn la courbe de fn dans un repère orthonormé O,i,j.

  1. Calculer limx-fnxlimx+fnx et limx0fnx.
  1. Étudier les branches infinies de la courbe Cn.
  1. Montrer que fn est dérivable sur ]0;+[ et ]-;0[, puis calculer fn'x.
  1. Dresser le tableau de variations de fn.
  1. Montrer que l’équation fnx=1 admet dans ]-;0[ une seule solution xn.
  1. Montrer que n2 -1<xn<-1n
  1. Montrer que n* fn+1xn=exn, et en déduire que xnn est convergente.
  1. Prouver que n2 xn-2lnnn, puis déterminer limn+xn et limn+nxn.
  1. Tracer la courbe C1.

 

 

2-3/ Exercice 1-3

Soit n un entier de *.

On considère la fonction fn définie sur ]0;+[ par : fnx=ex-1x+nlnx

Partie 1

On pose gx=1+x-1ex

  1. Calculer limx+gx
  1. Étudier les variations de g, en déduire que x+* gx>0.
  1. Calculer limx+fnx et limx0+fnx.
  1. Étudier la branche infinie de Cn au voisinage de +.
  1. Calculer la dérivée fn, puis déduire que fn est strictement croissants sur ]0;+[.
  1. Étudier la position relative des courbes C1 et C2.
  1. Tracer dans un même repère les ccourbes C1 et C2.
Partie 2
  1. Montrer que l’équation fnx=0 admet une seule solution αn et que αn<1.
  1. Vérifier que fn+1αn=lnαn, en déduire que αnn est croissante.
  1. Montrer que x]0;1] ex-1xe-1.
  1. Déduire que n* αne1-en, puis déterminer limn+αn.

 

 

2-4/ Exercice 1-4

Soit n un entier naturel. On considère la fonction fn définie sur * par : fnx=enxx2-1

Partie 1

On suppose n=1

  1. Calculer limx-f1x et limx0f1x, interpréter les résultats.
  1. Montrer que limx+f1xx=+, que peut-on déduire ?
  1. Calculer f1'x pour tout x*, puis donner le tableau de variations.

Soit h la restriction de f1 sur I=]0,2].

  1. Montrer que h est bijective de I vers un intervalle J à déterminer.
  1. Calculer f11 et montrer que h-1 est dérivable en a=e-1, et déterminer h-1'e-1.
  1. Tracer la courbe de f1.
Partie 2
  1. Étudier le sens de variation de fn sur ]-;0[ et ]0;+[.
  1. Montrer que l’équation fnx=0 admet une seule solution αn dans ]-;0[.
  1. Étudier le signe de fn+1x-fnx sur ]-;0[.
  1. Déduire la position relative des courbes Cn et Cn+1.
  1. Montrer que αnn est croissante et convergente.
  1. Déterminer la limite de la suite αnn.

On pose Sn=k=1nαk2k2 pour tout n de *.

  1. Montrer que Snn est croissante et convergente.

(On Remarque que k2 1k21kk-1)