Séance 10 - Trigonométrie 2 (Équations et inéquations trigonométriques)

Sommaire

I- Équations trigonométriques

1-1/ Équations de la forme $\cos x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

1-2/ Équations de la forme $\sin x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

1-3/ Équations de la forme $\tan x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

II- Inéquations trigonométriques dans un intervalle $K\subset \mathrm{ℝ}$

2-1/ Inéquations de la forme $\cos x\ge a ; \cos x>a ; \cos x\le a ; \cos x<a$

2-2/ Inéquations de la forme $\sin x\ge a ; \sin x>a ; \sin x\le a ; \sin x<a$

2-3/ Inéquations de la forme $\tan x\ge a ; \tan x>a ; \tan x\le a ; \tan x<a$

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

I- Équations trigonométriques

1-1/ Équations de la forme $\cos x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

Activité

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté a un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

$\left(C\right)$ est le cercle trigonométrique d’origine $I$ lié au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ tel que $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{OI\text{'}}=-\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OJ\text{'}}=-\overrightarrow{j}$.

1. Construire sur le cercle les points $M$ de $\left(C\right)$ tel que $\cos \left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)=\frac{1}{2}$.

2. Déterminer pour chaque cas les abscisses curvilignes de $M$.

3. Déterminer pour chaque cas les mesures de l’angle orienté $\left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)$.

4. Que peut-on dire pour $M$ de $\left(C\right)$ tel que $\cos \left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)=3$ ?

I- Équations trigonométriques

1-1/ Équations de la forme $\cos x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

Propriété

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$ et $a$ un réel donné.

L’équation $x\in \mathrm{ℝ} : \cos x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$ pour solutions :

• 1er cas : $a\in ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [$

L’équation n’a pas de solution d’où $S=\varnothing$

• 2ème cas : $a\in \left[-1,1\right]$

on a $\cos x=a$, on cherche $\alpha$ de $\mathrm{ℝ}$ tel que $a=\cos \alpha$, d’où :

$$\begin{gathered} \cos x=a\iff \cos x=\cos \alpha \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\alpha +2k\mathrm{\pi }\\ x=-\alpha +2k\mathrm{\pi }\end{array}\right.; k\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

L'ensemble des solutions de l’équation est :

$S=\left\{x\in \mathrm{ℝ}/x=\alpha +2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=-\mathrm{\alpha }+2\mathrm{k\pi } / \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

Cas particulier :

$a=0$ : L'ensemble des solutions de l’équation $\left(E\right)$ est : $S=\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi } / \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

$a=1$ : L'ensemble des solutions de l’équation $\left(E\right)$ est : $S=\left\{2k\mathrm{\pi } / \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

$a=-1$ : L'ensemble des solutions de l’équation $\left(E\right)$ est : $S=\left\{\mathrm{\pi }+2k\mathrm{\pi } / \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

I- Équations trigonométriques

1-2/ Équations de la forme $\sin x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

Activité

Le plan $\left(P\right)$ est rapporté a un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

$\left(C\right)$ est le cercle trigonométrique d’origine $I$ lié au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ tel que $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{OI\text{'}}=-\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OJ\text{'}}=-\overrightarrow{j}$.

1. Construire sur le cercle les points $M$ de $\left(C\right)$ tel que $\sin \left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Déterminer pour chaque cas les abscisses curvilignes de $M$.

3. Déterminer pour chaque cas les mesures de l’angle orienté $\left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)$.

4. Que peut-on dire pour $M$ de $\left(C\right)$ tel que $\sin \left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)=-5$ ?

I- Équations trigonométriques

1-2/ Équations de la forme $\sin x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

Propriété

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$ et $a$ un réel donné.

L’équation $x\in \mathrm{ℝ} : \sin x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$ pour solutions :

• 1er cas : $a\in ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [$

L’équation n’a pas de solution d’où $S=\varnothing$

• 2ème cas : $a\in \left[-1,1\right]$

on a $\sin x=a$, on cherche $\alpha$ de $\mathrm{ℝ}$ tel que $a=\sin \alpha$, d’où :

$$\begin{gathered} \sin x=a\iff \sin x=\sin \alpha \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\alpha +2k\mathrm{\pi }\\ x=\mathrm{\pi }-\alpha +2k\mathrm{\pi }\end{array}\right.; k\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

L'ensemble des solutions de l’équation est :

$S=\left\{x\in \mathrm{ℝ}/x=\alpha +2k\mathrm{\pi } , \mathrm{x}=\mathrm{\pi }-\mathrm{\alpha }+2\mathrm{k\pi } / \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

Cas particulier :

$a=0$ : L'ensemble des solutions de l’équation $\left(E\right)$ est : $S=\left\{k\mathrm{\pi } / \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

$a=1$ : L'ensemble des solutions de l’équation $\left(E\right)$ est : $S=\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi } / \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

$a=-1$ : L'ensemble des solutions de l’équation $\left(E\right)$ est : $S=\left\{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2k\mathrm{\pi } / \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

I- Équations trigonométriques

1-3/ Équations de la forme $\tan x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

Activité

Il faut au départ déterminer l’ensemble de définition de l’équation : $\left\{x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

Soit la droite $\left(T\right)$ tangente au cercle $\left(C\right)$ en $I$, coupe la demi-droite $\left[OM\right)$ au point $T$ (condition $M\ne J$ et $M\ne J\text{'}$).

La droite $\left(T\right)$ est muni du repère $\left(I,\overrightarrow{i}\right)$.

1. Déterminer la condition sur $x$ pour que $\tan \left(x\right)$ soit définie .

2. Construire sur la droite $\left(T\right)$ et le point $T$ tel que $\tan \left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OT}}\right)=\frac{1}{2}$.

3. Construire sur le cercle les points $M$ intersection de la droite $\left(OT\right)$ et le cercle $\left(C\right)$.

4. Déterminer pour chaque cas les abscisses curvilignes de $M$.
5. Déterminer les mesures de l’angle orienté $\left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)$.
6. Que peut-on dire pour $M$ de $\left(C\right)$ tel que $\tan \left(\overline{\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM}}\right)=-5$ ?

I- Équations trigonométriques

1-3/ Équations de la forme $\tan x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

Propriété

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$ et $a$ un réel donné.

Soit l’équation $x\in \mathrm{ℝ} : \tan x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$.

L'ensemble de définition de l’équation $\left(E\right)$ est $\mathrm{ℝ}-\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

On a $\tan x=a \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$, et on cherche $\alpha$ de $\mathrm{ℝ}$ tel que $a=\tan \alpha$, d’où :

$$\begin{gathered} \tan x=a\iff \tan x=\tan \alpha \\ \iff x=\alpha +k\mathrm{\pi }; \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

L'ensemble des solutions de l’équation $\left(E\right)$ est :

$S=\left\{x\in \mathrm{ℝ}/x=\alpha +k\mathrm{\pi } / \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$

II- Inéquations trigonométriques dans un intervalle $K\subset \mathrm{ℝ}$

2-1/ Inéquations de la forme $\cos x\ge a ; \cos x>a ; \cos x\le a ; \cos x<a$

Exemple 1

1. Résoudre l’inéquation suivante :

$\left(E_1\right):x\in \left[0,2\mathrm{\pi }\right] ; \cos x\le \frac{1}{2}$​

II- Inéquations trigonométriques dans un intervalle $K\subset \mathrm{ℝ}$

2-2/ Inéquations de la forme $\sin x\ge a ; \sin x>a ; \sin x\le a ; \sin x<a$

Exemple

1. Résoudre l’inéquation suivante :

$\left(E_1\right):x\in \left[0,2\mathrm{\pi }\right] ; \sin x\le \frac{\sqrt{3}}{2}$​

II- Inéquations trigonométriques dans un intervalle $K\subset \mathrm{ℝ}$

2-3/ Inéquations de la forme $\tan x\ge a ; \tan x>a ; \tan x\le a ; \tan x<a$

Exemple

1. Résoudre l’inéquation suivante :

$\left(E_1\right):x\in \left[0,\mathrm{\pi }\right] ; \tan x>\frac{1}{2}$​

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ les équations suivantes :

2. Résoudre dans l’intervalle $I$ les équations suivantes :

3. Résoudre dans R les inéquations suivantes :

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ les équations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} 2{\cos }^2\left(x\right)-1=0 \\ \overline{)2} {\cos }^2\left(x\right)-3\cos \left(x\right)+2=0 \\ \overline{)3} 3{\tan }^2\left(x\right)-1=0 \\ \overline{)4} 2{\sin }^2\left(x\right)+\sin \left(x\right)-1=0 \end{gathered}$$

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

1. Résoudre dans l’intervalle $I$ les équations  suivantes :

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

Soit $x\in \mathrm{ℝ}$.

On pose $P\left(x\right)=2{\cos }^2\left(x\right)+\cos \left(x\right)$.

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation $P\left(x\right)=0$.

2. Étudier le signe de $P\left(x\right)$ sur l’intervalle $\left[0,2\mathrm{\pi }\right]$.

3. Déduire les solutions de $P\left(x\right)\le 0$ dans l’intervalle $\left[0,2\mathrm{\pi }\right]$.

On pose $Q\left(x\right)=-2 {\sin }^2\left(x\right)+3 \sin \left(x\right)-1$.

4. Montrer que $Q\left(x\right)=(2 \sin (x)-1)(1-\sin (x\left)\right)$.

5. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation $Q\left(x\right)=0$.

6. Étudier le signe de $Q\left(x\right)$ sur l’intervalle $\left[-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }\right]$.

7. Déduire les solutions de $Q\left(x\right)>0$ dans l’intervalle $\left[-\mathrm{\pi },\mathrm{\pi }\right]$.