Maths 2Bac SM - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 1

I- Exercice 1 (9 pts)

Partie 1

Considérons la fonction $g$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par $g\left(x\right)=Arc\tan x+\frac{x}{1+x^2}$

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$  et $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)$

2. Montrer que $g$ est dérivable en $0$ et donner la valeur de $g\text{'}\left(0\right)$.

3. Montrer que $g$ est une bijection de $\mathrm{ℝ}$ vers un intervalle $J$ qu'on doit déterminer.

4. Donner le signe de $g\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

Partie 2

Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par $f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)Arc\tan x+x$

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$  et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$

2. Montrer que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) f\text{'}\left(x\right)=2xg\left(x\right)$

3. Déduire le signe de $f\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

4. Donner le tableau de variations de $f$.

5. Étudier le signe de $f\left(x\right)-x$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

Partie 3

Considérons la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=a$ et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $a\in ]0;1[$

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 0<u_n<1$

2. Étudier la monotonie de $\left(u_n\right)$, puis déduire qu'elle est convergente.

3. Déterminer la valeur de $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$

II- Exercice 2 (6 pts)

Pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, considérons la fonction $f_n$ définie sur $\left[0;1\right]$ par $f_n\left(x\right)=x^n-1+Arc\tan x$.

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \left(\exists !x_n\in ]0;1[\right) : f_n\left(x_n\right)=0$

2. Montrer que $x_1>\frac{1}{2}$

Considérons la suite ${\left(x_n\right)}_{n\ge 1}$ définie tel que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ le terme $x_n$ désigne l'unique solution de l'équation $f_n\left(x\right)=0$ dans l'intervalle $]0;1[$.

3. Étudier la monotonie de ${\left(x_n\right)}_{n\ge 1}$, puis déduire qu'elle est convergente.

4. Montrer que la suite ${\left({x_n}^n\right)}_{n\ge 1}$ est strictement décroissante, puis déduire qu'elle est convergente.

5. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) 1-\frac{\mathrm{\pi }}{4}<{x_n}^n<1$

6. En admettant que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x_n}^n=1-\frac{\mathrm{\pi }}{4}$, déduire que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=1$.

III- Exercice 3 (5 pts)

Soit ${\left(s_n\right)}_{n\ge 1}$ une suite définie par $s_n=\sum _{k=1}^n{\left(-1\right)}^k{u}_k$, avec ${\left(u_n\right)}_{n\ge 1}$ est une suite décroissante convergente vers $0$.

1. Montrer que les deux suites extraites ${\left(v_n\right)}_{n\ge 1}$ et ${\left(w_n\right)}_{n\ge 1}$ tels que $v_n=s_{2n}$ et $w_n=s_{2n+1}$ sont adjacentes.

2. Déduire que la suite ${\left(s_n\right)}_{n\ge 1}$ est convergente.

3. Déduire que la suite ${\left(s_n\right)}_{n\ge 1}$ définie par $s_n=\sum _{k=1}^n\frac{{\left(-1\right)}^k}{\sqrt[3]{k}}$ est convergente.