Séance 1 - Notions de logique

Sommaire

I- Définitions

1-1/ Proposition

1-2/ Fonction propositionnelle

1-3/ Quantificateurs

II- Opérations sur les propositions

2-1/ La négation d’une proposition

2-2/ La conjonction de deux propositions – La disjonction de deux propositions

2-3/ L’implication de deux propositions

2-4/ L’équivalence de deux propositions

2-5/ Les lois logiques

III- Types de raisonnements

3-1/ Raisonnement par contre exemple

3-2/ Raisonnement par des équivalences successives

3-3/ Raisonnement déductif

3-4/ Raisonnement par la contraposée

3-5/ Raisonnement par la disjonction des cas

3-6/ Raisonnement par l'absurde

3-7/ Raisonnement par la récurrence

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

5-7/ Exercice 7

I- Définitions

1-1/ Proposition

tout  énoncé mathématique (texte mathématique) qui a un sens pouvant être vrai ou faux (mais pas les deux en même temps) est une proposition.

On note souvent une proposition par les lettres P, Q ou R ..etc...

Exemple

I- Définitions

1-2/ Fonction propositionnelle

On appelle une fonction propositionnelle, tout énoncé mathématique contenant une variable x ou plusieurs variables (x,y, z,...), et qui appartiennent à des ensembles déterminés.

On note P(x) ou P(x,y;z,...).

Exemple

I- Définitions

1-3/ Quantificateurs

Quantificateur universel

L’expression suivante « pour tout x de E la proposition Q(x) est vraie », on la note : $«\forall x\in E , Q\left(x\right)»$ .

Le symbole $\forall$ s’appelle quantificateur universel et il se lit :

• pour tout
• quel que soit

Exemple :

• $«\forall x\in \mathrm{ℝ} , \sqrt{x^2}=\left|x\right|»$

I- Définitions

1-3/ Quantificateurs

Quantificateur existentiel

L’expression suivante « il existe un x de E tel que la proposition Q(x) est vraie », on la note : $«\exists x\in E , Q\left(x\right)»$ .

Le symbole $\exists$ s’appelle quantificateur existentiel et il se lit :

• il existe

Exemple :

• $«\exists x\in \mathrm{ℝ} , x+2\ge 1»$

I- Définitions

1-3/ Quantificateurs

Symbole $\exists !$

L’expression suivante « il existe un unique x de E tel que la proposition Q(x) est vraie », on la note : $«\exists !x\in E , Q\left(x\right)»$ .

Exemple :

• $«\exists !x\in \mathrm{ℝ} , x+2=1»$

I- Définitions

1-3/ Quantificateurs

Remarques

- L’ordre des quantificateurs de même type (universel ou bien existentiel) ne change pas le sens de la fonction propositionnelle.

- L’ordre des quantificateurs de types différents  (universel et existentiel) change le sens de la fonction propositionnelle.

- La négation du quantificateur $\forall$ est le quantificateur $\exists$.

- La négation du quantificateur $\exists$ est le quantificateur $\forall$.

- Les écritures suivantes sont équivalentes :

$\forall x\in E,\forall y\in E\iff \forall x,y\in E\iff \forall \left(x,y\right)\in E\times E$

- Les écritures suivantes sont équivalentes :

$\exists x\in E,\exists y\in E\iff \exists x,y\in E\iff \exists \left(x,y\right)\in E\times E$

II- Opérations sur les propositions

2-1/ La négation d’une proposition

La négation d’une proposition $P$ est la proposition qu’on note $\overline{P}$ ou non P  tel que les valeurs de vérité de P et $\overline{P}$ sont opposées.

II- Opérations sur les propositions

2-2/ La conjonction de deux propositions – La disjonction de deux propositions

La conjonction de deux propositions

La conjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est la proposition notée $P\wedge Q$ ou bien $P et Q$.

Elle est vraie seulement dans le cas où $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies.

II- Opérations sur les propositions

2-2/ La conjonction de deux propositions – La disjonction de deux propositions

La disjonction de deux propositions

La disjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est la proposition notée $P\vee Q$ ou bien $P ou Q$.

Elle est fausse seulement dans le cas où $P$ et $Q$ sont toutes les deux fausses.

II- Opérations sur les propositions

2-2/ La conjonction de deux propositions – La disjonction de deux propositions

Propriétés

La conjonction et la disjonction sont commutatives : $P\wedge Q=Q\wedge P ; P\vee Q=Q\vee P$

La conjonction et la disjonction sont associatives : $\left(P\wedge Q\right)\wedge R=P\wedge \left(Q\wedge R\right) ; \left(P\vee Q\right)\vee R=P\vee \left(Q\vee R\right)$

La négation de la conjonction : $\overline{P\wedge Q}= \overline{P}\vee \overline{Q}$

La négation de la disjonction : $\overline{P\vee Q}= \overline{P}\wedge \overline{Q}$

La conjonction est distributive sur la disjonction : $P\wedge \left(Q\vee R\right)=\left(P\wedge Q\right)\vee \left(P\wedge R\right)$

La disjonction est distributive sur la conjonction : $P\vee \left(Q\wedge R\right)=\left(P\vee Q\right)\wedge \left(P\vee R\right)$

II- Opérations sur les propositions

2-3/ L’implication de deux propositions

Définition

L’implication de deux propositions $P$ puis $Q$ est la proposition $\overline{P}\vee Q$ ; qu’on note par $P\Rightarrow Q$.

On lit $P$ implique Q.

La proposition $P$ s’appelle les données (ou hypothèses) de l’implication.

La proposition $Q$ s’appelle la conclusion de l’implication.

II- Opérations sur les propositions

2-3/ L’implication de deux propositions

Propriétés

L’implication est transitive : $\left[\left(P\Rightarrow Q\right)\wedge \left(Q\Rightarrow R\right)\right]\Rightarrow \left(P\Rightarrow R\right)$

La négation de l’implication : $\overline{\left(P\Rightarrow Q\right)}=P\wedge \overline{Q}$

La contraposée : $\left(P\Rightarrow Q\right)\Rightarrow \left(\overline{Q}\Rightarrow \overline{P}\right)$

II- Opérations sur les propositions

2-4/ L’équivalence de deux propositions

Définition

L’équivalence de deux propositions $P$ et $Q$ est la proposition $\left(P\Rightarrow Q\right)\wedge \left(Q\Rightarrow P\right)$ ; qu’on note par $P\iff Q$.

On lit $P$ est équivalente à $Q$ ou bien $P$ si et seulement si $Q$.

II- Opérations sur les propositions

2-4/ L’équivalence de deux propositions

Propriétés

L’équivalence est transitive : $\left[\left(P\iff Q\right)\wedge \left(Q\iff R\right)\right]\Rightarrow \left(P\iff R\right)$

$$\begin{gathered} \left(P\iff Q\right)=\left(Q\iff P\right) \\ \left(P\iff Q\right)=\left(\overline{P}\iff \overline{Q}\right) \\ \overline{\left(P\iff Q\right)}=\overline{\left(P\Rightarrow Q\right)\wedge \left(Q\Rightarrow P\right)}=\left(P\wedge \overline{Q}\right)\vee \left(\overline{P}\wedge Q\right) \end{gathered}$$

II- Opérations sur les propositions

2-5/ Les lois logiques

Définition

Une loi logique est une proposition qui est vraie quel que soit la vérité des propositions qui la constitue.

III- Types de raisonnements

3-1/ Raisonnement par contre exemple

Pour prouver que la propriétés suivante est fausse $\left(\forall x\in E,P\left(x\right)\right)$ , il suffit de prouver que $\left(\exists x\in E,\overline{P\left(x\right)}\right)$ est vraie (c.à.d. de trouver un élément x de E qui ne vérifie pas P(x), c'est ce qu’on appelle un contre exemple).

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par contre exemple.

Exemple

III- Types de raisonnements

3-2/ Raisonnement par des équivalences successives

Pour démontrer que l’équivalence suivant $P\iff Q$ est vrai, on démontrer que : $P\iff Q_1$ et $Q_1\iff Q_2$ et $Q_2\iff Q_3$ et ... et $Q_n\iff Q$.

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par des équivalences successives.

Exemple

III- Types de raisonnements

3-3/ Raisonnement déductif

Si on a l’implication $P\Rightarrow Q$ est vraie et on a dans un exercice comme donnée la proposition $P$ donc on déduit que la proposition $Q$ est vraie.

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par déduction.

Exemple

III- Types de raisonnements

3-4/ Raisonnement par la contraposée

Pour démontrer l’implication suivante $P\Rightarrow Q$, il suffit de démontrer l’implication suivante $\overline{Q}\Rightarrow \overline{P}$.

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par la contraposée.

Exemple

III- Types de raisonnements

3-5/ Raisonnement par la disjonction des cas

Lorsqu’on utilise plusieurs cas dans une démonstration, le raisonnement utilisé s’appelle raisonnement par disjonction des cas.

Exemple

III- Types de raisonnements

3-6/ Raisonnement par l'absurde

Pour démontrer qu’une proposition $Q$ (conclusion ou résultat), et on a parmi les données la proposition $P$.

On suppose que $\overline{Q}$  et au cour de la démonstration on trouve une contradiction

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par l'absurde.

Exemple

III- Types de raisonnements

3-7/ Raisonnement par la récurrence

Soient $n_0\in \mathrm{\mathbb{N}}$ et $P\left(n\right)$ une relation portant sur les entiers naturels $n$ tel que $n\ge n_0$.

Pour démontrer que la relation $P\left(n\right)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$, on utilise les étapes suivantes :

• On vérifie que $P\left(n\right)$ est vraie pour $n=n_0$ (c.à.d. $P\left(n_0\right)$ est vraie).
• On suppose que $P\left(n\right)$ est vraie pour $n$ avec $n\ge n_0$, la supposition s’appelle hypothèse de récurrence
• On démontre que la relation $P\left(n\right)$ est vraie pour $n+1$ ( c.à.d. $P(n+1)$ est vraie )

Ce mode de raisonnement s’appelle raisonnement par récurrence.

Exemple

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes puis déterminer leurs négations :

$$\begin{gathered} \overline{)1} p_1 : "\sqrt{2}\in \mathrm{\mathbb{N}}" \\ \overline{)2} p_2 : "\sqrt{{\left(-2\right)}^2}=-2^2" \\ \overline{)3} p_3 : "\mathrm{\pi }=\frac{22}{7}" \\ \overline{)4} p_4 : "\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{ℝ}" \\ \overline{)5} p_5 : "3 est un nombre impair" \\ \overline{)6} p_6 : "\sqrt{9}=-3 et {\left(-3\right)}^2=9" \\ \overline{)7} p_7 : "\sqrt{3}+\sqrt{7}>3 ou \mathrm{\pi }\in \mathrm{\mathbb{Q}}" \\ \overline{)8} p_8 : "\sqrt{12}\ne 3 et \sqrt{4}=2" \\ \overline{)9} p_9 : "\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{8} ou \mathrm{\pi }\in \mathrm{ℝ}" \end{gathered}$$

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

1. Écrire les propositions suivantes en utilisant les quantificateurs :

$\overline{)1} \left(P_1\right) :$ "Pour tout entier naturel $n$ il existe un entier naturel $m$ tel que $n+m=0$"

$\overline{)2} \left(P_2\right) :$ "Il existe un réel $M$ tel que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$, on a $x\le M$"

$\overline{)3} \left(P_3\right) :$ "Tout réel inférieur ou égal à $1$ est négatif"

$\overline{)4} \left(P_4\right) :$ "Il n’existe aucun nombre rationnel solution de l’équation $x^2=2$"

$\overline{)5} \left(P_5\right) :$ "La fonction $f$ est constante sur $\mathrm{ℝ}$"

$\overline{)6} \left(P_6\right) :$ "Tout entier naturel est pair ou impair"

$\overline{)7} \left(P_7\right) :$ "L’équation $\sin \left(x\right)=x$ a une et une seule solution dans $\mathrm{ℝ}$"

$\overline{)8} \left(P_8\right) :$ "Pour tout réel $x$, il existe un unique entier relatif $p$ tel que $p\le x<p+1$"

$\overline{)9} \left(P_9\right) :$ "Il existe au moins un élément réel $\alpha$ tel que pour tout $x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$, on a $\alpha \le x$"

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes puis déterminer leurs négations :

$$\begin{gathered} \overline{)1} p_1 : \left(\exists x\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) x^2=36 \\ \overline{)2} p_2 : \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) x^2\ge x \\ \overline{)3} p_3 : \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) n\left(n+1\right) est pair \\ \overline{)4} p_4 : \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\exists y\in \mathrm{ℝ}\right) x\le y \\ \overline{)5} p_5 : \left(\exists x\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall y\in \mathrm{ℝ}\right) x\le y \\ \overline{)6} p_6 : \left(\forall x\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\left(\exists y\in \mathrm{ℝ}\right) x=y^2 \\ \overline{)7} p_7 : \left(\exists x\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\left(\forall y\in \mathrm{ℝ}\right) x=y^2 \\ \overline{)8} p_8 : \mathrm{\pi }=3,14\Rightarrow \sqrt{3}\in \mathrm{\mathbb{Q}} \\ \overline{)9} p_9 : \left(\forall a\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) a premier\Rightarrow a impair \\ \overline{)10} p_{10} : \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) x^2\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow x\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \overline{)11} p_{11} : \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) x^2=4\Rightarrow x=2 \end{gathered}$$

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

Soit $P$ la proposition suivante : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : x^2-5x+4\ne 0$

1. Donner la négation de la proposition $P$.

2. En déduire que $P$ est fausse.

Soit $P$ la proposition suivante :  $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : x^2-x>0$.

3. Déterminer la vérité de la proposition $P$.

4. Donner la négation de $P$.

V- Exercices

5-5/ Exercice 5

Raisonnement par le contre-exemple

1. Montrer que la proposition suivante est fausse : "$\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : x^2\ge x$".

2. Montrer que la proposition suivante est fausse : "$\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : n^2$ est pair".

3. Montrer que la proposition suivante est fausse : "$\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) : n^2+n+1$ est un entier premier".

Raisonnement par l’absurde

5. Montrer que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : \frac{x^2+1}{x^2-1}\ne 1$.

6. Montrer que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}*\right) : \sqrt{x^2+1}\ne x+1$.

7. Montrer que $\left(\forall x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}\right) : \sqrt{x}\ne \frac{x+2}{\sqrt{x+4}}$.

8. Montrer que $\sqrt{2}\notin \mathrm{\mathbb{Q}}$.

V- Exercices

5-6/ Exercice 6

Raisonnement par les équivalences

1. Soient $a$ et $b$ deux réels. Montrer que $a^2+b^2\ge 2ab$.

2. Montrer que ∀ x ∈ ℝ *   :   ${x }^2 + \frac{1 }{x^2 } \ge 2 .$

Raisonnement par la disjonction des cas

5. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ l’équation suivante : $x^2+\left|x-1\right|+1=0$.

6. Montrer que  ∀ n ∈ ℕ   :   $n \left(n + 1\right)$  est un nombre pair.

V- Exercices

5-7/ Exercice 7

Raisonnement par la contraposée

1. Soient $\left(x,y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$. Montrer que $x\ne y\Rightarrow \left(x+1\right)\left(y-1\right)\ne \left(x-1\right)\left(y+1\right)$.
2. Soient $\left(x,y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$. Montrer que $y\ne -\frac{3}{4}x\Rightarrow \frac{x-y}{x+y}\ne 7$.
3. Soient $\left(x,y\right)\in ]1;+\infty [\times ]1;+\infty [$. Montrer que $x\ne y\Rightarrow x^2-3x\ne y^2-3y$.

Raisonnement par la récurrence

4. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : 7^n-1$ est divisible par $6$.
5. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) : 1+2+3+...+n=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$.