Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 3-4 : Dérivation et étude des fonctions - Problème de synthèse

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

IX- Problème de synthèse

9-1/ Partie 1

9-2/ Partie 2

 


 

9-1/ Partie 1

Soit f la fonction numérique définie sur  par :

fx=-x+x2+1 si x0fx=4πArctan-x+x2+1 si x<0

  1. Étudier la continuité de f en 0.
  1. Étudier la dérivabilité de f en 0.
  1. Montrer que pour tout x* : f'x<0.
  1. Dresser le tableau de variation de f. On déterminera les limites en - et en +.
  1. Tracer la courbe Cf de la fonction f dans un repère orthonormé (Unité : 2cm).

On pose I=14;1.

  1. Montrer que fII.

 

 

9-2/ Partie 2

On considère la suite numérique un définie par u0=1 et un+1=fun pour tout n.

  1. Montrer que pour tout xI : f'x45
  1. En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout n :

un+1-3345un-33

  1. En déduire que la suite un est convergente, et donner sa limite.
  1. Montrer que :

x]0;π2[ ; f1tanx=tanx2

On pose pour tout n : an=2n+1+-1n3

  1. Vérifier que a0=1, et que pour tout n : an+1=2n+1-an
  1. Montrer que : n un=tanπan2n+2