Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 3-4 : Dérivation et étude des fonctions - Problème de synthèse

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

IX- Problème de synthèse

9-1/ Partie 1

9-2/ Partie 2

 


 

9-1/ Partie 1

Soit f la fonction numérique définie sur  par :

{f(x)=-x+x2+1 si x0f(x)=4πArctan(-x+x2+1) si x<0

  1. Étudier la continuité de f en 0.
  1. Étudier la dérivabilité de f en 0.
  1. Montrer que pour tout x* : f'(x)<0.
  1. Dresser le tableau de variation de f. On déterminera les limites en - et en +.
  1. Tracer la courbe Cf de la fonction f dans un repère orthonormé (Unité : 2cm).

On pose I=[14;1].

  1. Montrer que f(I)I.

 

 

9-2/ Partie 2

On considère la suite numérique (un) définie par u0=1 et un+1=f(un) pour tout n.

  1. Montrer que pour tout xI : |f'(x)|45
  1. En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout n :

|un+1-33|45|un-33|

  1. En déduire que la suite (un) est convergente, et donner sa limite.
  1. Montrer que : (x]0;π2[) ; f(1tanx)=tan(x2)

On pose pour tout n : an=2n+1+(-1)n3

  1. Vérifier que a0=1, et que pour tout n : an+1=2n+1-an
  1. Montrer que : (n) un=tan(πan2n+2)