Mathématiques : 2Bac SMA-SMB
Séance 3-4 : Dérivation et étude des fonctions - Problème de synthèse
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
Sommaire
IX- Problème de synthèse
9-1/ Partie 1
9-2/ Partie 2
IX- Problème de synthèse
9-1/ Partie 1
Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par :
{f(x)=-x+√x2+1 si x≥0f(x)=4πArctan(-x+√x2+1) si x<0
- Étudier la continuité de f en 0.
- Étudier la dérivabilité de f en 0.
- Montrer que pour tout x∈ℝ* : f'(x)<0.
- Dresser le tableau de variation de f. On déterminera les limites en -∞ et en +∞.
- Tracer la courbe Cf de la fonction f dans un repère orthonormé (Unité : 2cm).
On pose I=[14;1].
- Montrer que f(I)⊂I.
IX- Problème de synthèse
9-2/ Partie 2
On considère la suite numérique (un) définie par u0=1 et un+1=f(un) pour tout n∈ℕ.
- Montrer que pour tout x∈I : |f'(x)|≤45
- En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout n∈ℕ :
|un+1-√33|≤45|un-√33|
- En déduire que la suite (un) est convergente, et donner sa limite.
- Montrer que : (∀x∈]0;π2[) ; f(1tanx)=tan(x2)
On pose pour tout n∈ℕ : an=2n+1+(-1)n3
- Vérifier que a0=1, et que pour tout n∈ℕ : an+1=2n+1-an
- Montrer que : (∀n∈ℕ) un=tan(πan2n+2)