Séance 3-2-1 : Dérivation et étude des fonctions - Partie 2 (Cours)

Sommaire

IV- Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

4-1/ Théorèmes de Rolle

4-2/ Théorèmes des accroissements finis

4-3/ Inégalité des accroissements finis

IV- Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

4-1/ Théorèmes de Rolle

Théorème 1

Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a<b$, et $f:\left[a,b\right]\to \mathrm{ℝ}$ une fonction continue sur $\left[a,b\right]$, dérivable sur $]a,b[$, telle que $f\left(a\right)=f\left(b\right)$.

Alors il existe au moins un réel $c\in ]a,b[$ tel que $f\text{'}\left(c\right)=0$.

IV- Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

4-2/ Théorèmes des accroissements finis

Théorème 2

Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a<b$, et $f:\left[a,b\right]\to \mathrm{ℝ}$ une fonction continue sur $\left[a,b\right]$, dérivable sur $]a,b[$.

Il existe alors au moins un réel $c\in ]a,b[$ tel que $f\left(b\right)-f\left(a\right)=\left(b-a\right)f\text{'}\left(c\right)$

IV- Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

4-3/ Inégalité des accroissements finis

Théorème 3

Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a<b$, et $f:\left[a,b\right]\to \mathrm{ℝ}$ une fonction continue sur $\left[a,b\right]$, dérivable sur $]a,b[$.

On suppose qu'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $x\in ]a,b[$ : $m\le f\text{'}\left(x\right)\le M$

Alors : $m\left(b-a\right)\le f\left(b\right)-f\left(a\right)\le M\left(b-a\right)$

IV- Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

4-3/ Inégalité des accroissements finis

Corollaire

Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a<b$, et $f:\left[a,b\right]\to \mathrm{ℝ}$ une fonction continue sur $\left[a,b\right]$, dérivable sur $]a,b[$.

On suppose qu'il existe $k\in \mathrm{ℝ}*$ tel que pour tout $x\in ]a,b[$ : $\left|f\text{'}\left(x\right)\right|\le k$

Alors pour tout $\left(x,y\right)\in {\left[a,b\right]}^2$, on a : $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\le k\left|x-y\right|$