Séance 18 - Angles formés par deux droites parallèles et une sécante

Sommaire

I- Angles opposés par le sommet

1-1/ Définition

1-2/ Exemple

1-3/ Propriété

II- Angles formé par deux parallèles et une sécante

2-1/ Angles alterne-internes

2-2/ Angles correspondants

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

I- Angles opposés par le sommet

1-1/ Définition

Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

I- Angles opposés par le sommet

1-2/ Exemple

On considère la figure suivante :

On dit que $\widehat{AOB}$ et $\widehat{COD}$ sont deux angles opposés par le sommet $O$.

Ainsi que les angles $\widehat{AOC}$ et $\widehat{BOD}$ sont opposés par le sommet $O$.

I- Angles opposés par le sommet

1-3/ Propriété

Deux angles opposés par le sommet sont égaux (isométriques).

II- Angles formé par deux parallèles et une sécante

2-1/ Angles alterne-internes

Définition

Deux angles alterne-internes sont deux angles :

• Qui n’ont pas le même sommet.
• Qui sont de part et d’autre de la sécante.
• Qui sont de la bande délimitée par les deux droites.

II- Angles formé par deux parallèles et une sécante

2-1/ Angles alterne-internes

Exemple

On considère la figure suivante telle que $\left(D\right)$ et $(D\text{'})$ sont deux droites distinctes coupées par la sécante $\left(\Delta \right)$ :

Les angles $\widehat{EAB}$ et $\widehat{ABH}$ sont appelés angles alternes internes.

Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{FAB}$ sont appelés angles alternes internes.

II- Angles formé par deux parallèles et une sécante

2-1/ Angles alterne-internes

Propriété directe

Si deux droites sont parallèles, alors elles déterminent avec toute sécante des angles alternes internes isométriques (égaux).

II- Angles formé par deux parallèles et une sécante

2-1/ Angles alterne-internes

Propriété réciproque

Si deux droites déterminent avec une sécant deux angles alternes internes isométriques (égaux), alors elles sont parallèles.

II- Angles formé par deux parallèles et une sécante

2-2/ Angles correspondants

Définition

Deux angles sont correspondants lorsqu’ils :

• Ils n’ont pas le même sommet
• Ils sont du même côté de la sécante
• L’un est à l’intérieur de la bande délimitée par les deux droites l’autre pas.

II- Angles formé par deux parallèles et une sécante

2-2/ Angles correspondants

Exemple

On considère la figure suivante telle que $\left(D\right)$ et $(D\text{'})$ sont deux droites distinctes coupées par la sécante $\left(\Delta \right)$ :

Les angles $\widehat{EAB}$ et $\widehat{GBN}$ sont appelés angles correspondants.

Les angles $\widehat{MAF}$ et $\widehat{ABH}$ sont appelés angles correspondants.

Ainsi que les angles : $\widehat{FAB}$ et $\widehat{HBN}$ ;; $\widehat{MAE}$ et $\widehat{ABG}$.

II- Angles formé par deux parallèles et une sécante

2-2/ Angles correspondants

Propriété directe

Si deux droites sont parallèles, alors elles déterminent avec toute sécante des angles correspondants isométriques (égaux).

II- Angles formé par deux parallèles et une sécante

2-2/ Angles correspondants

Propriété réciproque

Si deux droites déterminent avec une sécant deux angles correspondants isométriques (égaux), alors elles sont parallèles.

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

Calculer l’angle $\widehat{ABC}$ :

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

Sur le schéma suivant , les droites $\left(AB\right)$ et $\left(CD\right)$ sont parallèles :

1. Calculer $\widehat{EAB}$.
2. Calculer $\widehat{EBA}$.
3. Calculer $\widehat{ADC}$.
4. Calculer $\widehat{BCD}$.
5. Calculer $\widehat{DEC}$.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

Soit les deux figures suivantes :

1. $\left(A\right)$ et $\left(B\right)$ sont-elles parallèles ?

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

On considère la figure suivante dans laquelle les droites $\left(AB\right)$ et $\left(DE\right)$ sont parallèles :

L'angle $\widehat{BAE}$ mesure $25°$.

1. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{AED}$ ?

2. Que peut-on dire des angles $\widehat{AED}$ et $\widehat{AEF}$ ?

3. En déduire la mesure de l’angle $\widehat{AEF}$.

L'angle $\widehat{ABE}$ mesure $87°$.

4. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{CBE}$ ?

5. En déduire la mesure de l’angle $\widehat{FET}$.

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

1. Tracer $\widehat{xOy}$ un angle de $120°$, puis sa bissectrice $\left[Oz\right)$.

2. Placer sur $\left[Oz\right)$ un point $A$ et sur $\left[Oy\right)$ un point $B$ tel que $OA=OB$.

3. Calculer les angles du triangle $OAB$.

4. Prouver que la droite $\left(AB\right)$ et la demi-droite $\left[Ox\right)$ sont parallèles.