Mathématiques : Tronc Commun Sciences et Technologies

Semestre 1 Devoir 1 Modèle 1

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


I- Exercice 1 (5,5 pts)

 

  1. Déterminer parmi les nombres suivants : les nombres pairs, les nombres impairs et les nombres qui n’appartiennent pas à  :

2 ; 16 ; 2×35 ; 12 ; 89509 ; 310 ; 11 ; 17848

  1. Est-ce que le nombre 800001 est premier ?
  1. Soit n, déterminer la parité des nombres suivants : 2n+5 ; 4n2+4n+6
  1. Soit n, monter que le nombre 10n+5 n’est pas premier.
  1. Montrer que le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est un nombre pair.

Soit n un nombre premier tel que n>2.

  1. Montrer que 8 divise n2-1, puis déduire que n4-1 est un multiple de 16.

 


II- Exercice 2 (3 pts)

 

Soient a et b deux nombres entiers naturels tels que a=22×33×7 et b=360.

  1. Décomposer le nombre b en produit de facteurs premiers, puis déduire le PGCDa;b et PPCMa;b.
  1. Simplifier a et b et ab.
  1. Décomposer les nombres ab et a+b en produit de facteurs premiers.

 


III- Exercice 3 (2 pts)

 

Soit n un entier naturel.

  1. Montrer que n+13n+2=1+11n+2.
  1. Déterminer les diviseurs de 11.
  1. Déterminer tous les entiers naturels n qui vérifient n+13n+2.

 


IV- Exercice 4 (2,5 pts)

 

Soient a et b deux entiers naturels tels que a=5n+2-5n et b=7×5n+5n+1.

  1. Montrer que a est un multiple de 3.
  1. Montrer que b est un multiple de 12.
  1. Calculer PGCDa;b.

 


V- Exercice 5 (4 pts)

 

ABCD est un parallélogramme.

E et F deux points du plan tels que AF=3AD et AE=32AB.

  1. Construire une figure.
  1. Montrer que CF=2AD+CD et CE=12AB-BC.
  1. Montrer que CF+2CE=0.
  1. En déduire que les points EF et C sont alignés.

 


VI- Exercice 6 (3 pts)

 

ABC est un triangle.

I et J deux points du plan tels que AI=13AB.
 
J est le projeté du point I sur (BC) parallèlement à (AC), et Q le projeté du point J sur (AC) parallèlement à (AB).

  1. Construire une figure.
  1. Montrer que CJ=13CB.
  1. Montrer que AC=3QC.

 


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