Séance 10 - Équilibre d'un corps sous l'action de 3 forces

Sommaire

I- Condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces

1-1/ Expérience

1-2/ Observations

1-3/ Relation entre les vecteurs forces

1-4/ Condition d’équilibre

II- Forces de frottement

2-1/ Expérience

2-2/ Angle de frottement - Coefficient de frottement

2-3/ Angle de frottement statique

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

I- Condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces

1-1/ Expérience

Une plaque de polystyrène légère (de poids négligeable) est soumise à l’action de trois forces par
l’intermédiaire de trois fils tendus.

Trois dynamomètres mesurent ces forces.

I- Condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces

1-2/ Observations

Les lignes d'action des trois forces se trouvent dans le même plan : on dit qu'elles sont coplanaires.

Les lignes d'action des trois forces se coupent en un même point : on dit qu'elles sont concourantes.

I- Condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces

1-3/ Relation entre les vecteurs forces

Méthode graphique

En traçant le polygone des forces à une échelle choisie.

On place l’origine d’un des vecteurs à l’extrémité de l’autre vecteur et on complète le triangle.

La ligne polygonale des trois forces est fermée traduit graphiquement la relation vectorielle :

$\overline{) \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0} }$

I- Condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces

1-3/ Relation entre les vecteurs forces

Méthode analytique (projection)

Dans un repère orthonormé déterminons les coordonnées de chaque force :

$\overrightarrow{F_1}\left(\begin{array}{c}{F}_{1x}=3\\ F_{1y}=0\end{array}\right) ; \overrightarrow{F_2}\left(\begin{array}{c}{F}_{2x}=-3\\ F_{2y}=4\end{array}\right) ; \overrightarrow{F_3}\left(\begin{array}{c}{F}_{3x}=0\\ F_{3y}=-4\end{array}\right)$

La projection des trois forces sur l’axe Ox et Oy donne :

$\left\{\begin{array}{l}{F}_{1x}+F_{2x}+F_{3x}=0\\ F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}=0\end{array}\right.$

Donc, on a :

$\overline{) \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0} }$

I- Condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces

1-4/ Condition d’équilibre

Si un corps soumis à trois forces $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ et $\overrightarrow{F_3}$ est en équilibre :

• Les trois forces sont coplanaires et concourantes.
• La somme vectorielle des trois forces est nulle.

Remarques

La deuxième condition s’exprime par la relation vectorielle : $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$

Cette condition d’équilibre peut-être facilement généralisée à un nombre quelconque de forces.

II- Forces de frottement

2-1/ Expérience

Sur une table horizontal, on place un corps $\left(C\right)$ sur lequel on exerce une force $\overrightarrow{F}$ à l’aide d’un dynamomètre $\left(D\right)$, comme l’indique la figure suivante :

On augmente successivement l’intensité de la force $\overrightarrow{F}$ jusqu’à ce que le corps $\left(C\right)$ se mette en mouvement.

On constate le corps reste en équilibre tend que la force $F$ est inférieure à une valeur minimale $F_m$.

II- Forces de frottement

2-2/ Angle de frottement - Coefficient de frottement

On constate que la réaction $\overrightarrow{R}$ exercée par la table n’est pas perpendiculaire à la surface de contact, elle forme un angle $\phi$ avec la normale qu’on appelle angle de frottement.

On peut décomposer la réaction $\overrightarrow{R}$ en deux composantes :

• $\overrightarrow{R_N}$ : La composante normale.
• $\overrightarrow{R_T}$ : La composante tangentielle qui s’appelle force de frottement $\overrightarrow{f}$.

On appelle le coefficient de frottement :

$\overline{) k=\tan \phi =\frac{R_T}{R_N} }$

II- Forces de frottement

2-3/ Angle de frottement statique

Le corps $\left(C\right)$ est en équilibre sous l’action de trois forces : $\overrightarrow{F}$, $\overrightarrow{R}$ et son poids $\overrightarrow{P}$.

À cause des frottements, le corps $\left(C\right)$ reste en équilibre tant que la force $\overrightarrow{F}$ est intérieure à une valeur minimale $\overrightarrow{F_m}$.

• $F<F_m$ : le solide est en équilibre $\phi <{\phi }_0$ tel que ${\phi }_0$ est l’angle de frottement statique.
• $F>F_m$ : le solide est en mouvement $\phi >{\phi }_0$.

On définit le coefficient de l’angle statique $k_0$ par la relation : $k_0=\tan {\phi }_0$

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

Sur une route faisant un angle de $15°$ avec l'horizontale, une remorque de masse $m=500kg$ est accrochée à l'arrière d'une voiture. L'ensemble est immobile comme l'indique le schéma suivant :

$A$ est le point d'application de la force $\overrightarrow{F}$ exercée par la voiture sur la remorque, la valeur de cette force est égale à $1250N$.

$G$ est le centre de gravité de la remorque. On néglige les forces de frottements.

1. Calculer la valeur $P$ du poids de la remorque (on prendra $g=10 N.k{g}^{-1}$ ).

2. Donner les caractéristiques de la force $\overrightarrow{F}$ et du poids $\overrightarrow{P}$.

3. Représenter le poids $\overrightarrow{P}$ et la force $\overrightarrow{F}$ (échelle: $1cm\leftrightarrow 1000N$).

4. Quelle troisième force s’exerce sur la remorque ? Donner son point d’application, sa direction et son sens.

5. La remorque étant en équilibre, construire la dynamique des forces et déterminer graphiquement la valeur de la troisième force.

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

Une sphère $\left(S\right)$ homogène, de masse $m=1,4Kg$ de rayon $r=10cm$ et de centre $O$, est attachée en $A$ à un mur vertical parfaitement lisse, par l’intermédiaire d’un fil fixé en un point $B$ de sa surface.

La sphère repose en $M$ contre le mur.

1. Quelles sont les forces extérieur exerce sur la sphère ?

2. Quelles relations existe-t-il entre ces forces à l’équilibre de la sphère ?

3. En déduire que la droite $AB$ passe par $O$.

Le fil $AB$ a une longueur $l=20cm$.

4. Calculer les intensités de la tension du fil et de la réaction du mur.

On prendra $g=10N.K{g}^{-1}$

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

Un câble $\left(f_1\right)$ et un ressort $\left(R\right)$ sont fixés au plafond, et attachées à un anneau (de masse négligeable) qui support une charge (solide $\left(S\right)$) de masse $m=500g$, l'allongement du ressort est $\Delta L=5cm$.

L’anneau est en équilibre. On prendra $g=10N.K{g}^{-1}$.

1. Faire l’inventaire des forces appliquées à l’anneau.

2. Représenter ces forces.

3. Calculer $K$ la raideur du ressort.

4. Calculer $T$ l'intensité de la force exercée par le fil.

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

Un solide $\left(S\right)$ de masse $m=200g$ est maintenu à l’équilibre sur un plan incliné parfaitement lisse d’inclinaison $\alpha =30°$ par rapport à l’horizontale par l’intermédiaire d’un ressort de masse négligeable, de constante de raideur $k=40N.m^{-1}$ et allongé.

L’axe du ressort fait un angle $\theta =20°$ avec la ligne de la grande pente du plan incliné :

1. Rappeler la condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces.

La tension du ressort est $\overrightarrow{T}$, la réaction normale de la grande pente du plan incliné est $\overrightarrow{R_N}$, le poids du solide $\left(S\right)$ est $\overrightarrow{P}$.

2. Représenter les forces exercées sur le solide $\left(S\right)$.

3. Écrire la condition d'équilibre du solide $\left(S\right)$.

4. Déterminer les expressions des coordonnées de ces forces dans le repère orthonormé $R(G,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

5. Exprimer l’allongement $\Delta L$ du ressort en fonction de $m$, $g$, $\theta$, $k$ et $\alpha$.

6. Calculer $\Delta L$.

On donne : $g=10N.k{g}^{-1}$