Mathématiques : Troc Commun Sciences

Séance 8 (Équations, inéquations et systèmes)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Rappels

1-1/ Équations du 1er degré à une inconnue

1-2/ Inéquations du 1er degré à une inconnue

II- Équations du second degré à une inconnue

2-1/ Définition

2-2/ Forme canonique du trinôme de second degré ax2+bx+c a0

2-3/ Détermination des solutions de l’équation ax2+bx+c a0

2-4/ La somme et le produit des racines de l’équation ax2+bx+c a0

2-5/ Factorisation et signe du trinôme de second degré ax2+bx+c a0

III- Équations et inéquations du 1er degré à deux inconnues (Méthode graphique)

IV- Déterminants d’un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues

4-1/ Définition

4-2/ Propriétés

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

 


I- Rappels

 

1-1/ Équations du 1er degré à une inconnue

Définition

Soient a,b ; a0.

Toute équation dont l'écriture se ramène sous la forme suivante ax+b=0  avec x  est appelée équation du 1er degré d’un seul inconnu x de et ses coefficients réels sont a et b.

 

Exemple

 


I- Rappels

 

1-2/ Inéquations du 1er degré à une inconnue

Définition

Soient a,b ; a0.

Toute inéquation dont l'écriture se ramène sous la forme suivante ax+b0 ou  ax+b0    ax+b>0 ou ax+b<0 est appelée inéquation du 1er degré d’un seul inconnu x.

Signe du binôme du 1er degré ax+b

Exemple

 


II- Équations du second degré à une inconnue

 

2-1/ Définition

Soient a,b,c ; a0.

Toute équation dont l'écriture se ramène sous la forme suivante ax2+bx+c=0  avec xest appelée équation du 2ème  degré d’un seul inconnu x de et ses coefficients réels sont a et b et c.

Exemple

 


II- Équations du second degré à une inconnue

 

2-2/ Forme canonique du trinôme de second degré ax2+bx+c a0

L’ écriture ax+b2a2-b2-4ac4a2 est appelée la forme canonique du trinôme de second degré ax2+bx+c a0.

Le nombre b2-4ac est appelé le discriminant du trinôme de second degré ax2+bx+c ,  noté par Δ, et on écrit Δ=b2-4ac.

La forme canonique du trinôme de second degré ax2+bx+c  s’écrit :

ax+b2a2-b2-4ac4a2=ax+b2a2-Δ4a2

d’où :

ax2+bx+c=ax+b2a2-Δ4a2

Exemple

 


II- Équations du second degré à une inconnue

 

2-3/ Détermination des solutions de l’équation ax2+bx+c a0

Soit l’équation ax2+bx+c=0, et son discriminant Δ=b2-4ac.

- Si Δ>0, l’équation admet deux solutions distinctes (ou deux racines distinctes) dans x1=-b+Δ2a et x2=-b-Δ2a.

- Si Δ=0, l’équation admet une solution (solution double) dans  : x0=-b2a.

- Si Δ<0, l’équation n’a pas de solution dans  : S=.

Exemple

 


II- Équations du second degré à une inconnue

 

2-4/ La somme et le produit des racines de l’équation ax2+bx+c a0

Si l’équation  admet deux racines distinctes x1 et x2, alors on a :

x1+x2=-ba    et       x1×x2=ca

Exemple

 


II- Équations du second degré à une inconnue

 

2-5/ Factorisation et signe du trinôme de second degré    ax2+bx+c a0

Factorisation du trinôme de second degré ax2+bx+c a0

Δ est le discriminant de l’équation x/ax2+bx+c .

- Si Δ>0, l’équation admet deux solutions distinctes x1 et x2, on a ax2+bx+c =ax-x1x-x2.

- Si Δ=0, l’équation admet une solution x1=-ba, on a ax2+bx+c =ax-x12

- Si Δ<0, l’équation n’a pas de solution dans , on ne peut pas factoriser ax2+bx+c  sous forme de produit de deux polynômes de 1er degré (deux monômes).

Exemple

 


II- Équations du second degré à une inconnue

 

2-5/ Factorisation et signe du trinôme de second degré ax2+bx+c a0

Signe du trinôme de second degré ax2+bx+c a0

Δ est le discriminant de l’équation x/ax2+bx+c .

- Si Δ>0 :

- Si Δ=0 :

- Si Δ<0 : le trinôme n’a pas de racine dans , on ne peut pas factoriser ax2+bx+c , et son signe est celui de a pour tout x de .

Exemple

 


III- Équations et inéquations du 1er degré à deux inconnues (Méthode graphique)

 

Méthode

 


IV- Déterminants d’un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues

 

4-1/ Définition

On considère le système suivant : S : x,y2 / ax+by=ca'x+b'y=c'.

Le nombre Δ=aba'b'=ab'-a'b est appelé le déterminant du système (S).

Le nombre Δx=cbc'b'=cb'-c'b est appelé le déterminant pour déterminer x.

Le nombre Δy=aca'c'=ac'-a'c est appelé le déterminant pour déterminer y.

Exemple

 


IV- Déterminants d’un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues

 

4-2/ Propriétés

  1. Cas 1 : Δ=aba'b'=ab'-a'b0

Le système est appelé système de Cramer, le système admet une solution unique : S=ΔxΔ,ΔyΔ

  1. Cas 2 : Δ=aba'b'=ab'-a'b=0

- Si Δx0 ou Δy0, le système n’a pas de solution, d’où S=.

- Si Δx=0 et Δy=0, le système se ramène a une seule équation, on prend une par exemple S : x,y2/ax+by=c, le système a une infinité de solutions, d’où (S=x,y/y=-bax+ca,x

Exemple

 


V- Exercices

 

5-1/ Exercice 1

  1. Résoudre dans  les équations suivantes :

1 2x+3x-2=02 x-39x+6=13 4x-3-5x+1=04 2x+3=x-325 x+15x-7=5x+7x-1

  1. Résoudre dans  les inéquations suivantes :

1 1-2x-502 3x-5<7-2x3 7x-21-37x+21+34 x-5<125 x+2-546 3x-2>3

 


V- Exercices

 

5-2/ Exercice 2

  1. Résoudre dans  les équations suivantes :

1 x2+x+1=02 3x2+32x+2=03 x2-x-12=04 3x2+5x+1=05 4x2-3x+1=06 x2-x+14=0

  1. Résoudre dans  les inéquations suivantes :

1 x2-5x+602 -x2+x+6>03 x2-5x+6-x2+x+604 x2-6x+5x2-405 x2+3x+2-x2+5x-60

 


V- Exercices

 

5-3/ Exercice 3

  1. Résoudre dans 2 les systèmes suivants :

1  S1:5x-2y=1-10x+4y=32  S2:3x+y=72x-y=8

  1. Résoudre dans 2 le système suivant :

S:-x+3y=4x-2y=11

  1. Déduire les solutions des systèmes suivants :

1  S1:-x+3y=4x-2y=112  S2:-x+1+3y2=4x+1-2y2=11

 


V- Exercices

 

5-4/ Exercice 4

  1. Résoudre dans  l’équation suivante : 2x2-2x-4=0
  1. Déduire les solutions de l'équation suivante : 2x4-2x2-4=0

On considère l’équation suivante : E : x2+x-6=0

  1. Montrer que l’équation E admet deux solutions distincts α et β sans les calculer.
  1. Calculer  α+β, αβ, 1α+1β, αβ2+α2ββα+αβ et α2+β2    
  1. Factoriser, si possible, les polynômes suivants :

Px=x2-x-6Qx=12x2+x+12Sx=x2+3x+5Tx=-3x2-2x+1

 


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