Mathématiques : Troc Commun Sciences

Séance 3 (Calcul vectoriel dans le plan)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Rappel (Vecteurs du plan)

II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan P

2-1/ Somme de deux vecteurs

2-2/ Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

III- Vecteurs colinéaires

IV- Milieu d’un segment 

4-1/ Milieu d’un segment

4-2/ Milieux d’un triangle

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

 


I- Rappel (Vecteurs du plan)

 

-  A et B deux points distincts du plan P.

     + La direction de AB est la droite (AB).

     + Le sens de AB est celui de la demi droite [AB).

     + La longueur ou norme de AB, notée AB=AB, est la distance de A à B.

- Cas particulier si  A=B : alors Le vecteur AB=AA=BB=0 c’est le vecteur nul.

- Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même direction et même sens et même longueur.

ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB=DC.

 


II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan P

 

2-1/ Somme de deux vecteurs

Définition

Soient u et v deux vecteurs du plan P.

La somme des vecteurs u=AB et v=BC est le vecteur w=AC.

On écrit : w=u+v.

 


II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan P

 

2-1/ Somme de deux vecteurs

Propriétés

-  quelque soit A,B,CP : AB+BC=AC est appelé relation de Chasles.
 
Le vecteur BA est appelé l’opposé du vecteur AB  ( qui a la même direction, la même norme (longueur) de AB  mais  de sens contraire de AB)  et on a  AB = - BA.

 

 


II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan P

 

2-1/ Somme de deux vecteurs

Règle du parallélogramme

Soient AB et AC deux vecteurs du plan P.

ABDC est un parallélogramme si et seulement si le point D vérifie AD=AB+AC  ou bien  AB=CD

 


II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan P

 

2-2/ Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

Définition

Soit u un vecteur non nul et k un nombre non nul.

Le produit d’un vecteur u par un réel k (ou un scalaire) est le vecteur v=ku qui vérifie :

1- v a la direction parallèle à la direction du vecteur u.

2- v a pour sens :

  • Celui de u si k>0.
  • Contraire de u si k<0.

3- v de norme (longueur) égale à la norme (longueur) de u multipliée par k, ou encore : v=k×u.

 


II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan P

 

2-2/ Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

Propriétés

Pour tous vecteurs u et v et pour tous réel k et  k', on a :

k+k'u=ku+k'uku+v=ku+kvk.k'.u=k'.k.u=k.k'u1.u=uk.u=0  alors   k=0 ou u=0

 


III- Vecteurs colinéaires

 

Définition

- Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe α tel que u=αv ou v=αu.

- Trois points A et B et C du plan P sont alignés si et seulement si u=AB et v=AC sont alignés (ou encore il existe α tel que AB=αAC ou AC=αAB).

- Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont alignés  (ou encore il existe α tel que AB=α CD ou CD=α AB  ).

Exemple

 

 


IV- Milieu d’un segment 

 

4-1/ Milieu d’un segment

Définition

AB est un segment du plan (P).

Le point I est le milieu de AB si et seulement si IA+IB=0.

Propriétés

- Le point I est le milieu du segment AB si et seulement si AI=IB.

- Le point I est le milieu du segment AB si et seulement si AB=2AI ou BA=2BI.

- Le point I est le milieu dusegment  AB si et seulement si AI=12AB ou BI=12BA.

- Soit le point I est le milieu du segment  AB  et soit M un point du plan on a:  MA+MB=2MI


V- Exercices

 

5-1/ Exercice 1

soit ABCD un parallélogramme 

  1. Construire les points M et N tels que : AM=32AB et  AN=32AD 
  2. Montrer que CM=32AB-AC et NM=92AB-3AC
  3. En déduire que M,N et C sont alignés

 


V- Exercices

 

5-2/ Exercice 2

soit ABC un triangle et I le milieu de segment AB et J le milieu de segment AC

  1. Montrer que BJ=-AB+12AC et CI=-AC+12AB
  2. soit M, N deux points du plan tels que  BM=2BJ et CN=2CI 

           a- quelle la nature de ACBN et ABCM ?

           b- Montrer que A, M et  N sont alignés.

 

 


V- Exercices

 

5-3/ Exercice 3

soit A, B, C et M quatre points du plan et u=MA+2MB-3MC   

  1. Montrer que u=2AB-3AC 
  2. soit   v=2BA-6BC . Montrer que u et v sont colinéaires.

       

 


V- Exercices

 

5-4/ Exercice 4

soit ABCD un parallélogramme et M et N deux points du plan tels que BM=12AB et  AN=3AD 

  1. Construire une figure convenable.
  2. Montrer que CM=12AB-BC et CN=2AD-DC
  3. En déduire que M,N et C sont alignés.
  4. soit E le milieu du DN et F le point du plan tel que AB=BF  .  Montrer que C est le milieu du EF
  5. Montrer que BDEF.

 

 


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