Séance 2-2-1 : Suites numériques - Partie 2 (Cours)

Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 2-2-1 : Suites numériques - Partie 2 (Cours)

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

Sommaire

III- Limite d’une suite numérique

3-1/ Suite de limite infinie

3-2/ Limite infinie des suites usuelles

3-3/ Convergence d'une suite numérique

3-4/ Convergence des suites usuelles

3-5/ Unicité de la limite

3-6/ Opérations sur les limites

3-7/ Extension des opérations sur la limite de suite

3-8/ Limites et ordre

3-9/ Monotonie et convergence

IV- Critères de convergence

4-1/ Existence de la limite par encadrement

4-2/ Limite d'une suite géométrique

III- Limite d’une suite numérique

3-1/ Suite de limite infinie

Définition 5

On dit que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ a pour limite $+ \infty$ si tout intervalle de type $] A; + \infty [$ , où $A > 0$ , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, ce qui revient à dire que :

$(\forall A > 0) (\exists N \in ℕ) (\forall n \geq N) u_{n} \in] A; + \infty [$

On dit alors que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ diverge vers $+ \infty$ , et on notera :

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty o u l i m (u_{n}) = + \infty$

On dit que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ a pour limite $- \infty$ si tout intervalle de type $] - \infty; - A [$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang ; ce qui revient à dire que :

$(\forall A > 0) (\exists N \in ℕ) (\forall n \geq N) u_{n} \in] - \infty; - A [$

On dit alors que la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ diverge vers $- \infty$ , et on notera :

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty o u l i m (u_{n}) = - \infty$

Remarques

Si $k \in ℝ_{+}^{*}$ , alors on a l'implication :

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} k u_{n} = + \infty$

On a les équivalences suivantes :

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty \Leftrightarrow \lim_{n \to + \infty} (- u_{n}) = - \infty \lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty \Leftrightarrow \lim_{n \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$

3-2/ Limite infinie des suites usuelles

Proposition 1

Les suites ${(\sqrt{n})}_{n}$ , ${(n)}_{n}$ , ${(n^{2})}_{n}$ et ${(n^{3})}_{n}$ tendent vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .

Proposition 2

Soit ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ et ${(v_{n})}_{n \geq n_{0}}$ deux suites numériques telles que pour tout $n \geq n_{0}$ : $u_{n} \leq v_{n}$

Si $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ , alors $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$ .

Si $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = - \infty$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ .

Proposition 3

Soit $a$ un réel quelconque.

Si $a > 1$ alors $\lim_{n \to + \infty} a^{n} = + \infty$ .

Si $p \in ℕ *$ alors $\lim_{n \to + \infty} n^{p} = + \infty$ .

AppIications

Déterminer les limites suivantes :

$1 \lim_{n \to + \infty} {(\frac{2017}{2016})}^{n} 2 \lim_{n \to + \infty} {(\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{3}})}^{n} 3 \lim_{n \to + \infty} n^{2017} 4 \lim_{n \to + \infty} (n^{3} + 2^{n}) 5 \lim_{n \to + \infty} \frac{5^{n} + 2^{n}}{3^{n}}$

3-3/ Convergence d'une suite numérique

Définition 6

Étant donné une suite numérique ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ et $l \in ℝ$ , on dit que ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ tend vers $l$ , ou encore converge vers $l$ , si tout intervalle ouvert centré en $l$ contient tous les termes de la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ à partir d’un certain rang.

En d’autres termes :

$(\forall ε > 0) (\exists N \in ℕ) (\forall n \geq N); |u_{n} - l| < ε$

Et on écrit :

$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l o u l i m (u_{n}) = l$

Définition 7

On dit qu’une suite numérique est convergente si elle admet une limite réelle.

Dans le cas contraire, on dit qu’elle est divergente.

Remarque

Dire qu'une suite diverge (ou qu'elle est divergente), ne signifie pas qu'elle tend vers l'infini.

Cela signifie exactement que la suite n'a pas de limite ou qu'elle tend vers l'infini.

AppIications

Soit ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par $u_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ .

Montrer en utilisant la définition que $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .

On considère les deux suites $(v_{n})$ et $(w_{n})$ définies par $v_{n} = \frac{7 n - 2}{3 n + 4}$ et $w_{n} = \frac{2 n^{2} - \sin n}{n^{2} + 3}$ .

Montrer en utilisation la définition que $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = \frac{7}{3}$ et $\lim_{n \to + \infty} w_{n} = 2$ .

3-4/ Convergence des suites usuelles

Proposition 4

Les suites ${(\frac{1}{\sqrt{n}})}_{n \geq 1}$ , ${(\frac{1}{n})}_{n \geq 1}$ et ${(\frac{1}{n^{2}})}_{n \geq 1}$ tendent vers $0$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .

3-5/ Unicité de la limite

Proposition 5

La limite d’une suite numérique, lorsqu’elle existe, est unique.

Proposition 6

Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse.

3-6/ Opérations sur les limites

Proposition 7

Soit ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ et ${(v_{n})}_{n \geq n_{0}}$ deux suites numériques convergentes. Alors :

La suite ${(u_{n} + v_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est convergente, et de plus : $l i m (u_{n} + v_{n}) = l i m (u_{n}) + l i m (v_{n})$ .

La suite ${(u_{n} . v_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est convergente, et de plus : $l i m (u_{n} . v_{n}) = l i m (u_{n}) \times l i m (v_{n})$ .

Si $l i m (v_{n}) \neq 0$ , alors la suite ${(\frac{u_{n}}{v_{n}})}_{n \geq n_{0}}$ est convergente, et de plus : $l i m (\frac{u_{n}}{v_{n}}) = \frac{l i m (u_{n})}{l i m (v_{n})}$ .

Applications

Calculer la limite de chacune des suites suivantes définies par :

$1 u_{n} = \frac{2 \sqrt{n} - 7}{7 \sqrt{n} + 3} 2 v_{n} = \frac{n^{2} - 3 n + 4}{n^{2} + 5 n + 7} 3 w_{n} = \frac{2 n - 3}{n^{3} + 3 n^{2} + 1} 4 x_{n} = \frac{(n + 4) (- 3 n^{2} + 1)}{5 n^{3} + 8 n}$

3-7/ Extension des opérations sur la limite de suite

On admet que les résultats sur les limites des fonctions restent valables pour les limites des suites :

Limite d’une somme :

Limite d'un produit :

Limite d’une inverse :

3-8/ Limites et ordre

Proposition 8

Soit ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ et ${(v_{n})}_{n \geq n_{0}}$ deux suites convergentes. Alors :

Si la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est positive, alors $l i m u_{n} \geq 0$ .

Si $u_{n} \leq v_{n}$ pour tout entier $n \geq n_{0}$ , alors $l i m u_{n} \leq l i m v_{n}$ .

Remarque

Si ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite convergente dont on souhaite montrer que sa limite est strictement positive, alors il suffit de chercher un réel $m > 0$ tel que $u_{n} \geq m$ à partir d'un certain rang.

3-9/ Monotonie et convergence

Théorème 1

Toute suite croissante majorée est convergente.

Toute suite décroissante minorée est convergente.

Ce résultat porte le nom de «Théorème de la convergence monotone».

Remarque

Le théorème de la convergence monotone assure la convergence de la suite mais ne détermine pas sa limite.

Applications

Montrer que la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et pour tout $n \in ℕ$ : $u_{n + 1} = 3 - \frac{9}{4 u_{n}}$ , est décroissante et minorée par $\frac{3}{2}$ .

Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $(u_{n})$ ?

Soit ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : $v_{n} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + . . . + \frac{1}{n!}$

Montrer que pour tout entier $k \geq 2$ : $k! \geq 2^{k - 1}$ . En déduire que la suite ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ est majorée.

Montrer que la suite ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ est croissante puis en déduire qu'elle est convergente.

Proposition 9

Toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ .

Toute suite décroissante non minorée tend vers $- \infty$ .

IV- Critères de convergence

4-1/ Existence de la limite par encadrement

Théorème 2

Soit ${(v_{n})}_{n \geq n_{0}}$ et ${(w_{n})}_{n \geq n_{0}}$ deux suites numériques convergeant vers une limite commune $l$ .

Si ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ est une suite vérifiant l'encadrement $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ à partir d'un certain rang, alors la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ converge et sa limite vaut $l$ .

Ce résultat est appelé «Théorème des gendarmes»

Applications

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par : $u_{n} = \frac{\sqrt{n} \sin (n)}{n + 1}$

Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Calculer les limites des suites ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(w_{n})}_{n \geq 1}$ définies par : $v_{n} = \sum_{k = 1}^{2 n + 1} \frac{1}{n^{2} + k}$ et $w_{n} = \sum_{k = 1}^{3 n + 1} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{3} + k}}$ .

Corollaire

Soit ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ une suite numérique et $l$ un nombre réel.

S'il existe une suite ${(v_{n})}_{n \geq n_{0}}$ tendant vers $0$ telle que pour tout $n \geq n_{0}$ , $|u_{n} - l| \leq v_{n}$ , alors la suite ${(u_{n})}_{n \geq n_{0}}$ converge et sa limite vaut $l$ .

Proposition 10

Soit $r$ un nombre rationnel non nul.

Si $r > 0$ alors $\lim_{n \to + \infty} n^{r} = + \infty$ .

Si $r < 0$ alors $\lim_{n \to + \infty} n^{r} = 0$ .

4-2/ Limite d'une suite géométrique

Soit $q$ un nombre réel non nul.

Si $q > 1$ alors $\lim q^{n} = + \infty$ .
Si $- 1 < q < 1$ alors $\lim q^{n} = 0$ .
Si $q = 1$ alors $\lim q^{n} = 1$ .
Si $q < - 1$ alors la suite ${(q^{n})}_{n \in ℕ}$ n’admet pas de limite.

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