Séance 15 - Ordre et opérations

Sommaire

I- Comparaison de deux nombres rationnels

1-1/ Notation

1-2/ Propriétés

II- Ordre et opérations

2-1/ Ordre et addition – ordre et soustraction

2-2/ Ordre et multiplication

III- Encadrement d’un nombre rationnel

IV- Inéquations du premier degré à une inconnue

4-1/ Vocabulaire

4-2/ Résoudre des inéquations du premier degré à une inconnue

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

I- Comparaison de deux nombres rationnels

1-1/ Notation

I- Comparaison de deux nombres rationnels

1-2/ Propriétés

Soient a et b deux nombres rationnels :

• Si $a-b<0$ alors $a<b$.
• Si $a-b>0$ alors $a>b$.
• Si $a-b=0$ alors $a=b$.

Exemples

II- Ordre et opérations

2-1/ Ordre et addition – ordre et soustraction

Propriété 1

Soient a,b et c trois nombres rationnels :

• Si $a<b$ alors $a+c<b+c$
• Si $a<b$ alors $a-c<b-c$

Exemples

II- Ordre et opérations

2-1/ Ordre et addition – ordre et soustraction

Propriété 2

Soient a,b, c et d des nombres rationnels :

Si $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.$ alors $a+c<b+d$

Exemples

II- Ordre et opérations

2-2/ Ordre et multiplication

Propriété 1

Soient a, b et c des nombres rationnels :

Si $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c>0\end{array}\right.$ alors $a\times c<b\times c$

Si $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<0\end{array}\right.$ alors $a\times c>b\times c$

Exemple

II- Ordre et opérations

2-2/ Ordre et multiplication

Propriété 1

Soient a, b, c et d des nombres rationnels positifs :

Si $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.$ alors $a\times c<b\times d$

Exemple

III- Encadrement d’un nombre rationnel

Définition

Soit a, b et c des nombres rationnels.

Si $a\le b$ et $b\le c$, On écrit $a\le b\le c$

L’écriture $a\le b\le c$ est appelée l’encadrement de b

Exemple

IV- Inéquations du premier degré à une inconnue

4-1/ Vocabulaire

Une inéquation à une inconnue $x$ est une inégalité entre deux expressions algébriques.

La valeur de $x$ pour laquelle l’inégalité est vraie est la solution de l’inéquation.

IV- Inéquations du premier degré à une inconnue

4-2/ Résoudre des inéquations du premier degré à une inconnue

Définition

Résoudre une inéquation, c'est trouver tous les nombres qui vérifient l'inégalité.

Exemple

Résoudre les inéquations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} 2x+1\ge -7 \\ \overline{)2} -4x+1>9-2x \end{gathered}$$

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

1. Comparer :

$$\begin{gathered} \frac{8}{9} et \frac{7}{3} \\ \frac{-6}{11} et \frac{-5}{7} \\ \frac{3}{4}+5 et \frac{2}{5}+1 \end{gathered}$$

$a$ et $b$ sont deux nombres rationnels tels que : $a\le 3$ et $b\ge 2$.

2. Prouver que $a-b\le 1$

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

$x$ et $y$ sont deux nombres rationnels tels que $x\ge y$.

1. Comparer :

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

$x$ et $y$ sont deux nombres rationnels tels que :

$-9\le 2x+3\le 7$ et $-\frac{7}{2}\le \frac{3y-1}{2}\le -2$

1. Montrer que $-6\le x\le 2$ et $-2\le y\le -1$

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

$x$ et $y$ sont deux nombres rationnels tels que :

$-5\le 3x+1\le -2$ et $1\le y\le 3$

1. Montrer que $-2\le x\le -1$

2. Encadrer $2x$ et $3y$ et $x+y$ et $x-y$ et $2x+3y-5$ et $-2x-3y$ et $xy$.

V- Exercices

5-5/ Exercice 5

$a$ et $b$ sont deux nombres rationnels tels que $a\le b$

1. Prouver que $2a\le a+b\le 2b$

2. En déduire que $a\le \frac{a+b}{2}\le b$

V- Exercices

5-6/ Exercice 6

1. Résoudre les inéquations suivantes :