Séance 26B - Aspects énergétiques (Pendule pesant et de torsion)

Sommaire

I- Pendule de torsion

1-1/ Énergie cinétique

1-2/ Énergie potentielle de torsion

1-3/ Énergie mécanique

1-4/ Diagramme énergétique

II- Pendule pesant

2-1/ Énergie cinétique

2-2/ Énergie potentielle de pesanteur

2-3/ Énergie mécanique

2-4/ Diagramme énergétique

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

I- Pendule de torsion

1-1/ Énergie cinétique

On considère un pendule de torsion formé d’un fil métallique léger auquel est fixé une tige dense.

Soit $J_{\Delta }$ le moment d’inertie de la tige par rapport à l’axe de rotation matérialisé par le fil métallique et $\dot{\theta }$ est la vitesse angulaire de la tige à instant $t$.

On définit l’énergie cinétique du système qu’est en rotation autour de $\left(\Delta \right)$, à cet instant $t$ par l’expression suivante : $\overline{)E_c=\frac{1}{2}{J}_{\Delta }.{\dot{\theta }}^2}$

I- Pendule de torsion

1-2/ Énergie potentielle de torsion

L’énergie potentielle de torsion d’un pendule de torsion est définie par la relation : $E_{pt}=\frac{1}{2}C.{\theta }^2+Cte$

Avec $C$ la constante de la torsion du pendule, $\theta$ angle de torsion en rad et $Cte$ une constante qui dépend du choix de l’état de référence fourni par les conditions initiales.

En générale , on prend $E_{pt}=0$ pour $\theta ={\theta }_0=0$ ; soit $Cte=0$ d’où $\overline{)E_{pt}=\frac{1}{2}C.{\theta }^2}$

I- Pendule de torsion

1-3/ Énergie mécanique

On a :

$$\begin{gathered} E_m=E_c+E_{pt} \\ {E}_m=\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}C{\theta }^2 \end{gathered}$$

Les oscillations sont non-amorties, donc on a un échange entre l’énergie potentielle et cinétique, alors que celle mécanique reste constante.

On dérive $E_m$ par rapport au temps  :

$$\begin{gathered} \frac{d{E}_m}{dt}=0 \\ \Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}C{\theta }^2\right)=0 \\ \Rightarrow J_{\Delta }\dot{\theta }\ddot{\theta }+C\theta \dot{\theta }=0 \\ \Rightarrow \overline{)\ddot{\theta }+\frac{C}{J_{\Delta }}\theta =0} \end{gathered}$$

C’est la même équation différentielle obtenue à partir de l’étude dynamique.

I- Pendule de torsion

1-4/ Diagramme énergétique

Les frottements sont négligeables, donc on a une conservation d’énergie mécanique :

$E_m=\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}C{\theta }^2=Cte$

Lorsque la tige passe par sa position d’équilibre : $\theta =0$ et $\dot{\theta }=\pm {\dot{\theta }}_m$, soit $E_p=0$ et $E_c=\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{{\dot{\theta }}_m}^2$

Lorsque la tige passe par ses positions extrêmes : $\theta =\pm {\theta }_m$ et $\dot{\theta }=0$, soit $E_p=\frac{1}{2}C{{\theta }_m}^2$ et $E_c=0$

II- Pendule pesant

2-1/ Énergie cinétique

L'énergie cinétique du pendule pesant est :

$\overline{)E_C=\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{\dot{\theta }}^2}$

II- Pendule pesant

2-2/ Énergie potentielle de pesanteur

L'énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant est : $E_{pp}=m.g.z+Cte$

En considérant comme état de référence $E_{pp}=0$ lorsque $z=0 \left(G=G_0=O\right)$, la constante $Cte=0$ et donc: $E_{pp}=m.g.z$

Lorsque le pendule pesant est incliné d'un angle $\theta$, son énergie potentielle de pesanteur est :

$$\begin{gathered} E_{pp}=m.g.z \\ {E}_{pp}=m.g\left(d-O{G}_0\right) \\ {E}_{pp}=m.g\left(d-d\cos \theta \right) \\ \overline{)E_{pp}=m.g.d\left(1-\cos \theta \right)} \end{gathered}$$

II- Pendule pesant

2-3/ Énergie mécanique

On a :

$$\begin{gathered} E_m=E_c+E_{pp} \\ {E}_m=\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{\dot{\theta }}^2+mgd\left(1-\cos \theta \right) \end{gathered}$$

Les oscillations sont non-amorties, donc on a un échange entre l’énergie potentielle et cinétique, alors que celle mécanique reste constante.

On dérive $E_m$ par rapport au temps  :

$$\begin{gathered} \frac{d{E}_m}{dt}=0 \\ \Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{\dot{\theta }}^2+mgd\left(1-\cos \theta \right)\right)=0 \\ \Rightarrow J_{\Delta }\dot{\theta }\ddot{\theta }+mgd\sin \theta \dot{\theta }=0 \\ \Rightarrow J_{\Delta }\ddot{\theta }+mgd\theta =0 \left(\sin \theta \approx \theta \right) \\ \Rightarrow \overline{)\ddot{\theta }+\frac{mgd}{J_{\Delta }}\theta =0} \end{gathered}$$

C’est la même équation différentielle obtenue à partir de l’étude dynamique.

II- Pendule pesant

2-4/ Diagramme énergétique

Les frottements sont négligeables, donc on a une conservation d’énergie mécanique :

$E_m=\frac{1}{2}{J}_{\Delta }{\dot{\theta }}^2+mgd\left(1-\cos \theta \right)=Cte$

Pour les petites oscillations $\left(\theta <15°\right)$ , on a $1-\cos \theta =\frac{{\theta }^2}{2}$

Donc on peut écrire par approximation : $E_{pp}=\frac{mgd{\theta }^2}{2}$

Et on obtient le diagramme suivant :

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

Une tige $AB$ homogène de masse $m$ et de longueur $AB=\mathcal{l}=60,0cm$ pouvant tourner dans un plan vertical autour d’un axe $\left(\Delta \right)$ horizontal fixe passant par son extrémité A.

Le moment d’inertie de cette tige par rapport à l’axe $\left(\Delta \right)$ est $J_{\Delta }=\frac{1}{3}m.{\mathcal{l}}^2$.

On repère à chaque instant la position du pendule pesant par  l’abscisse angulaire orienté $\theta \left(\overrightarrow{k};\overrightarrow{AB}\right)$ :

On choisit le plan horizontal contenant le point $G_0$ position du centre d’inertie $G$ de la tige à l’équilibre comme état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur $\left(E_p=0\right)$.

On admet dans le cas de faible amplitude que $1-\cos \theta \approx \frac{{\theta }^2}{2} \left(rad\right)$, et on prend $g=9,80 m.s^{-2}$.

1. Montrer que l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant peut s’écrire sous la forme : $E_P=m.g.\frac{\mathcal{l}}{2}(1-\cos \theta )$.

2. Dans le cas de faible amplitude, écrire l’expression de l’énergie mécanique à un instant $t$ en fonction de $m$, $\mathcal{l}$, $g$, $\theta$ et $\frac{d\theta }{dt}$.

3. En déduire l’équation différentielle vérifiée par l’abscisse angulaire dans le cas de faible amplitude.

On lance la tige $AB$ à partir de sa position d’équilibre avec une vitesse initiale. Elle acquiert dans chaque cas une énergie mécanique donnée :

• dans le cas 1 : $E_m=E_{m_1}$
• dans le cas 2 : $E_m=E_{m_2}$

Le diagramme suivant donne l’évolution de l’énergie potentielle $E_p$ et de l’énergie mécanique $E_m$ du pendule pesant dans chaque cas :

4. Déterminer à l’aide du diagramme, la nature du mouvement du pendule dans chaque cas.

5. Préciser à partir du diagramme, la valeur maximale de l’abscisse angulaire $\theta$ du pendule dans le cas 1. En déduire la masse de la tige.

Dans le deuxième cas, l’énergie cinétique du pendule pesant varie entre une valeur minimale $E_{C_{min}}$ et une valeur maximale $E_{C_{max}}$.

6. Trouver les valeurs de $E_{C_{min}}$ et $E_{C_{max}}$.

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

On considère un pendule de torsion constitué d’un fil de torsion et d’une barre homogène de moment d’inertie $J_{\Delta }$.

On écarte la barre de sa position d’équilibre d’un angle ${\theta }_m=\frac{\mathrm{\pi }}{10}rad$ par rapport à la position d’équilibre $\theta =0$, et on la libère sans vitesse initiale à l’instant $t_0=0$ :

Les amortissements sont négligeables.

1. Montrer que le mouvement de la barre est un mouvement oscillatoire sinusoïdale.

2. Montrer que ${\dot{\theta }}_m=\frac{2\mathrm{\pi }}{T_0}.{\theta }_m$ où $T_0$ désigne la période propre du mouvement du pendule.

3. Sachant que $T_0=0,2s$, et la constante de torsion $C=1,2N.m.ra{d}^{-1}$,  calculer l’énergie cinétique maximale du pendule de torsion.

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

On étudie le mouvement d’un pendule de torsion dans un repère lié à un référentiel terrestre supposé galiléen.

On repère la position de la tige MN à chaque instant par l’abscisse angulaire orientée $\theta =(\overrightarrow{G{M}_0};\overrightarrow{GM})$ comme l’indique la figure suivante :

On prend pour état de référence de l’énergie potentielle de torsion $E_{pt}=0$ pour $\theta =0$, et on prend ${\mathrm{\pi }}^2=10$.

Le pendule effectue des oscillations d’amplitude ${\theta }_m=\frac{\mathrm{\pi }}{4}rad$. L’étude expérimentale a permis d’obtenir la courbe suivante :

1. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique dans le cas de la rotation, établir l’équation différentielle du mouvement du pendule.

La solution de cette équation différentielle s’écrit sous la forme $\theta \left(t\right)={\theta }_m.\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{T_0}t+\phi \right)$ où $T_0$ est la période propre du pendule.

2. Montrer que l’expression numérique de la vitesse angulaire s’écrit sous la forme $\dot{\theta }\left(t\right)=4.\sin \left(1,6.\mathrm{\pi }.t+\frac{7\mathrm{\pi }}{6}\right)$.

3. Déterminer la valeur de la constante de torsion $C$.

4. Déterminer la valeur de l’énergie mécanique de l’oscillateur et en déduire la valeur de son énergie potentielle à l’origine des dates $(t_0=0)$.