Math 2Bac Eco-SGC - Examen National 2019 Rattrapage

Exercice 1 (4,5 pts)

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ la suite numérique définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{u_n-9}{u_n-5}$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. Montrer par récurrence que pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_n<3$

3)

1. Vérifier que pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{{\left(u_n-3\right)}^2}{5-u_n}$

2. Montrer que ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$
   est une suite croissante.

4. En déduire que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$
   est convergente.

5) On pose pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $v_n=\frac{-2u_n+4}{u_n-3}$

1. Vérifier que $v_0=-1$.

2. Montrer que $v_{n+1}=\frac{-u_n+1}{u_n-3}$.

100. En déduire que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $1$.

6)

1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_n=\frac{3v_n+4}{v_n+2}$

2. En déduire que pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_n=\frac{3n+1}{n+1}$

100. Calculer $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n$

Exercice 2 (4 pts)

(Les résultats seront donnés sous forme de fraction)

Un sac $S_1$ contient deux boules blanches, une boule rouge et trois boules vertes.

Un autre sac $S_2$ contient une boule blanche, deux boules rouges et une boule verte.

Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

On considère l’expérience suivante : « on tire une boule du sac $S_1$ puis on tire une boule du sac $S_2$ »

On considère les événements suivants :

$A$ : « Les deux boules tirées sont blanches »
$B$ : « Les deux boules tirées sont de couleurs différentes »

1. Montrer que $p\left(A\right)=\frac{1}{12}$.

2. Montrer que $p\left(\overline{B}\right)=\frac{7}{24}$ ($\overline{B}$ est l’événement contraire de $B$), et en déduire $p\left(B\right)$.

3. Calculer $p\left(A\cup B\right)$.

Exercice 3 (11,5 pts)

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=\left(1-\ln x\right)\ln x$

Et soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$  sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$, et interpréter géométriquement le résultat.

2)

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. On admet que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(\ln x\right)}^2}{x}$, Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ et interpréter géométriquement le résultat.

3)

1. Montrer que, pour tout $x$ de $]0;+\infty [$ : $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}\left(1-2\ln x\right)$.

2. Montrer que $f$ est croissante sur $]0;\sqrt{e}]$, et qu’elle est décroissante sur $[\sqrt{e};+\infty [$.

100. Calculer $f\left(\sqrt{e}\right)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.

500. Résoudre l’équation $f\left(x\right)=0$ et en déduire les coordonnées des points d’intersection de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ avec l’axe des abscisses.

5. Donner l’équation de la tangente $\left(T\right)$ à la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au point d’abscisse $x_0=1$.

4)

1. Montrer que $f"\left(x\right)=\frac{1}{x^2}\left(2\ln x-3\right)$ pour tout $x$ de $]0;+\infty [$.

2. Montrer que $A\left(e^{\frac{3}{2}};\frac{-3}{4}\right)$ est un point d’inflexion de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

5) Dans la figure ci-dessous $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est la courbe représentative de $f$, et soit $F$ la fonction définie par $F\left(x\right)=-x{\left(\ln x\right)}^2+3x\ln x-3x$.

1. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$.

2. A partir de la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ ci-dessous, donner les variations de $F$ sur $]0;+\infty [$.

100. Calculer l’aire de la partie hachurée.