Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Examen National 2021 Session Normale

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Exercice 1 (5 pts)

 

Soit unn la suite numérique définie par : u0=-1 et un+1=13un-12 pour tout n de .

1) Calculer u1 et u2.

2) Montrer par récurrence que pour tout n de : un<-34.

3)

a) Montrer que pour tout n de : un+1-un=-23un+34.

b) En déduire que unn est une suite croissante.

4) Déduire de ce qui précède que la suite unn est convergente.

5) On pose pour tout n de : vn=un+34.

a) Calculer v0.

b) Montrer que vn est une de suite géométrique de raison 13.

c) Donner vn en fonction de n.

d) En déduire que pour tout tout n de : un=-1413n+3.

6) Calculer limnun.

 

Exercice 2 (5,5 pts)

 

On considère la fonction numérique g de la variable réelle x définie sur ]0;+[ par : gx=1-1x2+lnx

1) Calculer limx0+gx et limx+gx.

2)

a) Montrer que : x>0 ; g'x=1x+2x3

b) Donner le signe de g'x sur ]0;+[.

3)

a) Calculer g1e et g1 puis dresser le tableau de variations de g.

b) A partir du tableau de variations de g, donner le signe de g(x) sur ]0;1] et sur [1;+[.

c) A l’aide du tableau de variations, résoudre l’inéquation : 1+e2+lnx1x2

 

Exercice 3 (5,5 pts)

 

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur ]0;+[ par : fx=lnx2-lnx

1) Calculer limx0+fx et limx+fx.

2)

a) Montrer que : x>0 ; f'x=1x2lnx-1

b) Montrer que f'x0 sur ]0;e] et f'x0 sur [e;+[

c) Calculer fe et fe puis dresser le tableau de variations de f.

3) A partir du tableau de variations de f :

a) Donner la valeur minimale de f sur ]0;+[.

b) Déterminer l’image de l’intervalle e;e par f.

 

Exercice 4 (4 pts)

 

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

1) Calculer les limites suivantes :

A limx+2x+exex-1B limx-2x+exex-1C limx0+ex-1x2

2)

a) Résoudre dans  l’équation suivante : t2+t-2=0

b) En déduire dans les solutions de l’équation suivante : e2x+ex-2=0

3) Donner une primitive H de la fonction h définie sur ]0;+[ par : hx=ex+2lnxx