Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM

Examen National 2021 Session Normale

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Exercice 1 : Fonctions numériques (2 pts)

 

1)

  1. Résoudre dans  l’équation e2x-4ex+3=0
  1. Résoudre dans l’inéquation e2x-4ex+30
  1. Calculer limx0e2x-4ex+3e2x-1
  1. Montrer que l’équation e2x+ex+4x=0 admet une solution dans l’intervalle -1;0

 

Exercice 2 : Suites numériques (4 pts)

 

Soit un la suite numérique définie par u0=12un+1=un3-2un pour tout n.

  1. Calculer u1
  1. Montrer par récurrence que pour tout n, 0un12

3)

  1. Montrer que pour tout n, un+1un12
  1. En déduire la monotonie de la suite un

4)

  1. Montrer que pour tout n, 0un12n+1; puis calculer la limite de la suite un
  1. On pose vn=ln3-2un pour tout n, calculer limvn

5)

  1. Vérifier que pour tout n, 1un+1-1=31un-1
  1. En déduire un en fonction de n pour tout n.

 

Exercice 3 : Nombres complexes (5 pts)

 

  1. Résoudre dans l’ensemble  des nombres complexes l’équation z2-3z+1=0.

2) Soient les nombres complexes a=eiπ6 et b=32+i32.

  1. Écrire a sous forme algébrique.
  1. Vérifier que ab=3.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points AB et C d’affixes respectives ab et a.

  1. Montrer que le point B est l’image du point A par une homothétie h de centre O dont on déterminera le rapport.

4) Soient z l’affixe d’un point M du plan et z' l’affixe du point M' image de M par la rotation R de centre A et d’angle π2.

  1. Écrire z' en fonction de z et a.
  1. Soit d l’affixe du point D image de C par la rotation R, montrer que d=a+1.
  1. Soit I le point d’affixe le nombre 1, montrer que ADIO est un losange.

5)

  1. Vérifier que d-b=3-121-i; en déduire un argument du nombre d-b.
  1. Écrire le nombre 1-b sous forme trigonométrique.
  1. Déduire une mesure de l’angle BI,BD^.

 

Problème : Étude de fonctions numériques et calcul intégral (9 pts)

 

Soit la fonction f définie sur [0;+[ par : f(0)=0 et f(x)=2xlnx-2x si x>0.

Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1cm)

  1. Montrer que f est continue à droite au point 0.

2)

  1. Calculer limx+fx.
  1. Calculer limx+fxx et interpréter géométriquement le résultat.

3)

  1. Calculer limx0+fxx et interpréter géométriquement le résultat.
  1. Calculer f'(x) pour tout x de ]0;+[.
  1. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur [0;+[.

4)

  1. Résoudre dans l’intervalle ]0;+[ les équations f(x)=0 et f(x)=x.
  1. Construire la courbe C dans le repère (O,i,j) (on prend e324,5)

5)

  1. En utilisant une intégration par parties, montrer que 1exlnxdx=1+e24.
  1. En déduire 1efxdx.

6)

  1. Déterminer le minimum de f sur ]0;+[.
  1. En déduire que pour tout x de ]0;+[, on a lnxx-1x.

7) Soit g la restriction de la fonction f à l’intervalle [1;+[.

  1. Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g-1 définie sur un intervalle J qu’on déterminera.
  1. Construire dans le même repère (O,i,j) la courbe représentative de la fonction g-1.

8) on considère la fonction h définie sur  par hx=x3+3x x0hx=2xlnx-2x x>0

  1. Étudier la continuité de h au point 0.
  1. Étudier la dérivabilité de la fonction h à gauche au point 0 puis interpréter géométriquement le résultat.
  1. La fonction h est-elle dérivable au point 0 ? Justifier.