Math 2Bac SPC - Semestre 2 Devoir 2 Modèle 1

Exercice 1 (5 pts)

On considère dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ les points $A(3,0,2)$ et $B(5,-1,1)$ et $C(0,2,3)$ et la sphère $\left(S\right)$ d’équation : $x^2+y^2+z^2-2x-2z-25=0$

1. Montrer que le centre de la sphère $\left(S\right)$ est le point $\Omega (1,0,1)$ et que son rayon est $R=3\sqrt{3}$

2. Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, et que $x+y+z-5=0$ est une équation cartésienne Du plan $\left(ABC\right)$

3. Vérifier que $d\left(\Omega ,\left(ABC\right)\right)=\sqrt{3}$ puis montrer que le plan $\left(ABC\right)$ coupe la sphère $\left(S\right)$ en un cercle $\left(\Gamma \right)$ de rayon $r=2\sqrt{6}$

Soit $\left(\Delta \right)$ la droite passant par le point $\Omega$ et est perpendiculaire au plan $\left(ABC\right)$

4. Montrer que $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=1+t\\ y=t\end{array}\\ z=1+t\end{array}\right.\left(t\in \mathrm{ℝ}\right)$ est une représentation paramétrique de la droite $\left(\Delta \right)$

5. Montrer que $H(2,1,2)$ est le point d’intersection de la droite $\left(\Delta \right)$ et le plan $\left(ABC\right)$

6. Déduire le centre du cercle $\left(\Gamma \right)$

Exercice 2 (5 pts)

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexe $\mathrm{ℂ}$ l’équation $z^2-6z+25=0$

On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectivement $a=3-4i$, $b=1-i$ et $c=-1+2i$

2. Calculer $\frac{a-c}{b-c}$ et déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés

On considère la translation $T$ de vecteur $\overrightarrow{u}$ d’affixe $-5+i$

3. Vérifier que l’affixe du point $D$ image du point $C$ par la translation $T$ est $d=-6+3i$

4. Montrer que $\frac{d-c}{b-c}=-1-i$, et que $-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$ est l’argument du nombre complexe $-1-i$

5. Déduire une mesure de l’angle orienté $\widehat{\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD}\right)}$

Exercice 3 (10 pts)

Partie 1

Soit $g$ la fonction numérique de variable $x$ définie sur $]0,+\infty [$ par $g\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+1+\frac{3}{x^2}$

1. Montrer que $g\text{'}\left(x\right)=\frac{2\left(x^2-3\right)}{x^3}$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$

2. Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[\sqrt{3},+\infty [$ et décroissante sur l’intervalle $]0,\sqrt{3}[$

3. Montrer que $g\left(\sqrt{3}\right)=2+\ln 3$ et vérifier que $g\left(\sqrt{3}\right)>0$

4. Déduire que $g\left(x\right)>0$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$

Partie 2

On considère la fonction $f$ de variable réel $x$ définie sur $]0,+\infty [$ par $f\left(x\right)=\left(x^2+3\right)\ln \left(x\right)$

Soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité $3cm$)

5. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et interpréter géométriquement le résultat

6. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ puis montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty$ (On peut écrire $\frac{f\left(x\right)}{x}$ sous la forme $\left(\frac{x^2+3}{x}\right)\ln \left(x\right)$)

7. Déduire que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet une branche parabolique au voisinage de $+\infty$ à déterminer

8. Montrer que $f\text{'}\left(x\right)=xg\left(x\right)$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$, puis déduire que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$

9. Montrer que $f"\left(x\right)=\frac{2x^2\ln x+3\left(x^2-1\right)}{x^2}$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$

10. Étudier le signe de $3\left(x^2-1\right)$ et $2x^2\ln x$ sur l’intervalle $]0,+\infty [$, puis déduire l’étude de la concavité de $\left({\mathcal{C}}_f\right)$

11. Montrer que $y=4x-4$ est une équation cartésienne de la droite $\left(\Gamma \right)$ tangente à $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au point d’abscisse $1$

12. Tracer la droite $\left(\Gamma \right)$ et la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$

13. Montrer que $x\mapsto \frac{x^3}{3}+3x$ est une fonction primitive de la fonction $x\mapsto x^2+3$ sur $\mathrm{ℝ}$

14. En utilisant une intégration par partie montrer que ${\int }_1^e\left(x^2+3\right)\ln xdxdx=\frac{2}{9}\left(14+e^3\right)$

15. Calculer en $c{m}^2$ l’aire du domaine délimité par la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et l’axe des abscisses et les deux droites d’équations $x=1$ et $x=e$