Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Séance 11 (Calcul intégral)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Intégrale d’une fonction continue

1-1/ Définition

1-2/ Propriété 1

1-3/ Propriété 2 (Relation de Chasles)

1-4/ Propriété 3 (Intégrales et inégalité)

II- Interprétation géométrique d’une intégrale

2-1/ Définition

2-2/ Propriété (Notion de l’intégrale)

III- La valeur moyenne

3-1/ Propriété

IV- Intégration par parties

4-1/ Théorème

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

 


I- Intégrale d’une fonction continue

 

1-1/ Définition

f est une fonction continue sur un segment [a,b] et F est une primitive de f sur [a,b].

Le nombre Fb-Fa est appelé intégral de f de a à b.

On note Fb-Fa=abfxdx=Fxab.

On lit intégral de a à b de f(x)dx.

Remarque

Pour toute fonction f continue, on a : aafxdx=Fa-Fa=0

Pour toute fonction f continue sur [a,b], on a : abfxdx=Fb-Fa=-bafxdx

Exemple

 

 


I- Intégrale d’une fonction continue

 

1-2/ Propriété 1

f et g sont deux fonctions continues sur un segment [a,b].

On a :

 abf+gxdx=abfxdx+abgxdxabαfxdx=αabfxdx ; α

Exemple

 

 

 


I- Intégrale d’une fonction continue

 

1-3/ Propriété 2 (Relation de Chasles)

f est une fonction continue  sur un intervalle I et ab et c trois réels appartenant à I.

On a :

acfxdx=abfxdx+bcfxdx avec abc. (Relation de Chasles).

Exemple

 

 

 


I- Intégrale d’une fonction continue

 

1-4/ Propriété 3 (Intégrales et inégalité)

f et g sont deux fonctions continues sur un segment [a,b].

Si f est positive sur [a,b] alors abfxdx0.

Si pour tout x[a,b] on a fxgx, alors abfxdxabgxdx

Exemple

 

 

 


II- Interprétation géométrique d’une intégrale

 

2-1/ Définition

Soit  un repère orthogonal du plan.

On note I et J les points tels que OI=i et OJ=j.

L’unité d’aire, que l’on note u.a, est l’aire de rectangle OIKJ

 


II- Interprétation géométrique d’une intégrale

 

2-2/ Propriété (Notion de l’intégrale)

Soit f une fonction continue sur a,b, et soit Cf la courbe représentative de f dans le repère orthogonal (O,i,j).

L’aire A (exprimée en unité d’aire) de la partie (F) du plan (P) comprise entre la courbe Cf et l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b est égale à l’intégrale de a à b de f.

On a :  A=abfxdx u.a

Exemple

 

 


III- La valeur moyenne

 

3-1/ Propriété

f est une fonction continue sur un segment [a,b] et a<b.

La valeur moyenne de f sur [a,b] est le nombre μ défini par : μ=1b-aabfxdx.

Il existe un élément c de [a,b] tel que : fc=1b-aabfxdx

Exemple

 

 


IV- Intégration par parties

 

4-1/ Théorème

u et v sont deux fonctions dérivables sur [a,b].

Leurs dérivées u' et v' sont continues sur [a,b].

On a :

Exemple

 

 


V- Exercices

 

5-1/ Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

A=0143x+1dxB=ee21xlnxdxC=0ln2e2x-3exdxD=153xx2-22dx E=01xx2+1dxF=0ln2exex-1dxG=1eln3xxdxH=ln2ln7ex2ex+2dx

 


V- Exercices

 

5-2/ Exercice 2

  1. Montrer que F:x12ln2x est une fonction primitive de la fonction f:xlnxx
  1. Calculer I=1elnxxdx
  1. Vérifier que la fonction G définie sur ]0;+[ par G(x)=xlnx-x est une fonction primitive de la fonction g définie sur ]0;+[ par gx=lnx
  1. Calculer I=1elnxdx
  1. Vérifier que la fonction H définie sur ]-;+[ par Hx=x-1ex est une fonction primitive de la fonction h définie sur ]-;+[ par hx=xex
  1. Montrer que 12xexdx=e2
  1. Calculer A l’aire du domaine délimité par la courbe Ch, l’axe des abscisses et les deux droites d’équations x=1 et x=2.

 


V- Exercices

 

5-3/ Exercice 3

  1. Vérifier que x2-2x+7-10x+2=x3+3x+4x+2 pour tout x--2.
  2. En déduire  I=01x3+3x+4x+2dx
  1. Calculer 01xexdx par une integration par parties et en déduire 01x-e-2xexdx

 

 


V- Exercices

 

5-4/ Exercice 4

  1. Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une intégration par parties :

A=01xexdxB=ee2x2lnxdxC=1elnxdxD=14lnxxdxE=01xe-xdx

  1. Vérifier que x+12x2+1=1+2xx2+1 x.
  1. En déduire l’intégrale I=01x+12x2+1dx.

 


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