Séance 11 - Calcul intégral

Sommaire

I- Intégrale d’une fonction continue

1-1/ Définition

1-2/ Propriété 1

1-3/ Propriété 2 (Relation de Chasles)

1-4/ Propriété 3 (Intégrales et inégalité)

II- Interprétation géométrique d’une intégrale

2-1/ Définition

2-2/ Propriété (Notion de l’intégrale)

III- La valeur moyenne

3-1/ Propriété

IV- Intégration par parties

4-1/ Théorème

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

I- Intégrale d’une fonction continue

1-1/ Définition

$f$ est une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$.

Le nombre $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ est appelé intégral de $f$ de $a$ à $b$.

On note $F\left(b\right)-F\left(a\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b$.

On lit intégral de $a$ à $b$ de $f\left(x\right)dx$.

Remarque

Pour toute fonction $f$ continue, on a : ${\int }_a^{a}f\left(x\right)dx=F\left(a\right)-F\left(a\right)=0$

Pour toute fonction f continue sur $[a,b]$, on a : ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$

Exemple

I- Intégrale d’une fonction continue

1-2/ Propriété 1

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un segment $[a,b]$.

On a :

 $$\begin{gathered} {\int }_a^b\left(f+g\right)\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx \\ {\int }_a^b\alpha f\left(x\right)dx=\alpha {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx ; \left(\alpha \in \mathrm{ℝ}\right) \end{gathered}$$

Exemple

I- Intégrale d’une fonction continue

1-3/ Propriété 2 (Relation de Chasles)

$f$ est une fonction continue  sur un intervalle $I$ et $a$, $b$ et $c$ trois réels appartenant à $I$.

On a :

${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_b^{c}f\left(x\right)dx$ avec $a\le b\le c$. (Relation de Chasles).

Exemple

I- Intégrale d’une fonction continue

1-4/ Propriété 3 (Intégrales et inégalité)

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un segment $[a,b]$.

Si $f$ est positive sur $[a,b]$ alors ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\ge 0$.

Si pour tout $x\in [a,b]$ on a $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$, alors ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\le {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx$

Exemple

II- Interprétation géométrique d’une intégrale

2-1/ Définition

Soit  un repère orthogonal du plan.

On note $I$ et $J$ les points tels que $\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{j}$.

L’unité d’aire, que l’on note $u.a$, est l’aire de rectangle $OIKJ$

II- Interprétation géométrique d’une intégrale

2-2/ Propriété (Notion de l’intégrale)

Soit $f$ une fonction continue sur $\left[a,b\right]$, et soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthogonal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

L’aire $A$ (exprimée en unité d’aire) de la partie $\left(F\right)$ du plan $\left(P\right)$ comprise entre la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ est égale à l’intégrale de $a$ à $b$ de $f$.

On a :  $A={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx \left(u.a\right)$

Exemple

III- La valeur moyenne

3-1/ Propriété

$f$ est une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et $a<b$.

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est le nombre $\mu$ défini par : $\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$.

Il existe un élément $c$ de $[a,b]$ tel que : $f\left(c\right)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Exemple

IV- Intégration par parties

4-1/ Théorème

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[a,b]$.

Leurs dérivées $u\text{'}$ et $v\text{'}$ sont continues sur $[a,b]$.

On a :

Exemple

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

1. Montrer que $F:x\to \frac{1}{2}{\ln }^{2}x$ est une fonction primitive de la fonction $f:x\to \frac{\ln x}{x}$

2. Calculer $I={\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx$

3. Vérifier que la fonction $G$ définie sur $]0;+\infty [$ par $G\left(x\right)=x\ln x-x$ est une fonction primitive de la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par $g\left(x\right)=\ln x$

4. Calculer $I={\int }_1^e\ln xdx$

5. Vérifier que la fonction $H$ définie sur $]-\infty ;+\infty [$ par $H\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x$ est une fonction primitive de la fonction $h$ définie sur $]-\infty ;+\infty [$ par $h\left(x\right)=x{e}^x$

6. Montrer que ${\int }_1^{2}x{e}^{x}dx=e^2$

7. Calculer $A$ l’aire du domaine délimité par la courbe $\left({\mathcal{C}}_h\right)$, l’axe des abscisses et les deux droites d’équations $x=1$ et $x=2$.

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

1. Vérifier que $x^2-2x+7-\frac{10}{x+2}=\frac{x^3+3x+4}{x+2}$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}-\left\{-2\right\}$.
2. En déduire  $I={\int }_0^1\frac{x^3+3x+4}{x+2}dx$

2. Calculer ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$ par une integration par parties et en déduire ${\int }_0^1\left(x-e^{-2x}\right)e^{x}dx$

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

1. Calculer les intégrales suivantes à l’aide d’une intégration par parties :

$$\begin{gathered} A={\int }_0^{1}x{e}^{x}dx \\ B={\int }_e^{e^2}{x}^2\ln \left(x\right)dx \\ C={\int }_1^e\ln xdx \\ D={\int }_1^4\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx \\ E={\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx \end{gathered}$$

2. Vérifier que $\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}=1+\frac{2x}{x^2+1} \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right)$.

3. En déduire l’intégrale $I={\int }_0^1\frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}dx$.