Séance 12 - Calcul intégral

Sommaire

I- Intégral d’une fonction continue sur un segment $[a,b]$

II- Propriétés : Relation de Shales – Linéarité – Ordre

2-1/ Propriété

2-2/ Relation de Chasles

2-3/ Linéarité

III- Valeur moyenne

IV- Intégration par parties

V- Applications sur les intégrales

5-1/ Calcul des surfaces

5-2/ Calcul des volumes

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

I- Intégral d’une fonction continue sur un segment $[a,b]$

Définition

$f$ est une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$.

Le nombre $F\left(b\right)-F\left(a\right)$ est appelé intégral de $f$ de $a$ à $b$.

On note $F\left(b\right)-F\left(a\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b$.

On lit intégral de $a$ à $b$ de $f\left(x\right)dx$.

Remarque

Dans l’écriture ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ on peut remplacer le variable $x$ soit par les variables $y$ et $z$ et $t$, donc : ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(y\right)dy={\int }_a^{b}f\left(t\right)dt=...$

Exemple

II- Propriétés : Relation de Shales – Linéarité – Ordre

2-1/ Propriété

$f$ est une fonction dérivable sur un segment $[a,b]$ et sa fonction dérivée $f \text{'}$ est continue sur $[a,b]$.

On a :

$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right)dx={\left[f\left(x\right)\right]}_a^b=f\left(b\right)-f\left(a\right) \\ {\int }_a^{b}cdx={\left[cx\right]}_a^b=c\left(b-a\right) ; \left(c\in \mathrm{ℝ}\right) \end{gathered}$$

Exemple

II- Propriétés : Relation de Shales – Linéarité – Ordre

2-2/ Relation de Chasles

$f$ est une fonction continue sur un segment $[a,b]$.

On a :

 $$\begin{gathered} {\int }_a^{a}f\left(x\right)dx=0 \\ {\int }_b^{a}f\left(x\right)dx=-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx \end{gathered}$$

${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ . (Relation de Chasles).

Exemple

II- Propriétés : Relation de Shales – Linéarité – Ordre

2-3/ Linéarité

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un segment $[a,b]$.

On a :

 $$\begin{gathered} {\int }_a^b\left(f+g\right)\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx \\ {\int }_a^b\alpha f\left(x\right)dx=\alpha {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx ; \left(\alpha \in \mathrm{ℝ}\right) \end{gathered}$$

Exemple

III- Valeur moyenne

2-3/ Linéarité

$f$ est une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et $a<b$.

Il existe au moins un élément $c$ de $[a,b]$ tel que : $\left(b-a\right)\times f\left(c\right)={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Le nombre $f\left(c\right)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$ s’appelle la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$.

Exemple

IV- Intégration par parties

Théorème

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[a,b]$.

Leurs dérivées $u\text{'}$ et $v\text{'}$ sont continues sur $[a,b]$.

On a :

Exemple

V- Applications sur les intégrales

5-1/ Calcul des surfaces

Propriété

$f et g$ deux fonctions continues sur $\left[a,b\right]$ , $\left({\mathcal{C}}_f\right) et \left({\mathcal{C}}_g\right)$ les courbes de $f et g$ dans le plan $\left(P\right)$ qui est rapporté à un repère orthogonal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

L’aire $S$ (la surface) de la partie $\left(F\right)$ du plan $\left(P\right)$ comprise entre la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ est ${\int }_a^b\left|f\left(x\right)\right|dx\times \left|\left|\overrightarrow{i}\right|\right|\times \left|\left|\overrightarrow{j}\right|\right|$ (unité d’aire)

L’aire $S$ (la surface) de la partie  du plan $\left(P\right)$ comprise entre la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right) et \left({\mathcal{C}}_g\right)$ est ${\int }_a^b\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx\times \left|\left|\overrightarrow{i}\right|\right|\times \left|\left|\overrightarrow{j}\right|\right|$ (unité d’aire)

Les cas possibles

V- Applications sur les intégrales

5-2/ Calcul des volumes

Propriété

L’espace est muni d’un repère orthogonal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.

$\left({\mathcal{C}}_f\right)$ la courbe de $f$, une fonction continue sur $\left[a,b\right]$ avec $(a<b)$.

Le solide de révolution obtenu par la rotation de la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ de la fonction $f$ sur $\left[a,b\right]$ au tour de l’axe des abscisse de $360°$, son volume est $V={\int }_a^b\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}^{2}dx\times \left|\left|\overrightarrow{i}\right|\right|\times \left|\left|\overrightarrow{j}\right|\right|\times \left|\left|\overrightarrow{k}\right|\right|$ (unité de volume).

Exemple

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :​

VI- Exercices

6-2/ Exercice 2

On considère les deux intégrales $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx$ et $J={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}dx$

1. Calculer $I-J$.

2. Calculer $I +J$.

3. En déduire la valeur de $I$ et $J$.

VI- Exercices

6-3/ Exercice 3

Calculer les intégrales suivantes par la méthode d’intégration par parties :

VI- Exercices

6-4/ Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie par $f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\ln x$

Soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1)Calculer les intégrales $I={\int }_1^e\frac{dx}{x}$ et $J={\int }_1^e\ln xdx$.

2. Calculer l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=1$ et $x=e$.

3. Montrer que $G\left(x\right)=x\left[{\left(\ln x\right)}^2-2\ln x+2\right]$ est une fonction primitive de la fonction $g\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2$.

Soit $t\in ]0;1[$

4. Calculer les intégrales $A={\int }_t^1\left(\frac{\ln x}{x}\right)dx$ et $B={\int }_t^1{\left(\ln x\right)}^{2}dx$.

5. Calculer en fonction de $t$ le volume $V\left(t\right)$ du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses de la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sur l’intervalle $\left[t;1\right]$.

6. Calculer $\underset{t\to +\infty }{\lim }V\left(t\right)$

VI- Exercices

6-5/ Exercice 5

Soit $f:x\mapsto \frac{1}{e^x\left(1-x\right)}$ et $x\in \left[0;\frac{1}{2}\right]$

1. Étudier les variations de $f$ sur $\left[0;\frac{1}{2}\right]$

2. En déduire que : $\left(\forall x\in \left[0;\frac{1}{2}\right]\right): 1\le f\left(x\right)\le \frac{2}{\sqrt{e}}$

3. Vérifier que : $\left(\forall x\in \left[0;\frac{1}{2}\right]\right): 1+x+\frac{x^2}{1-x}=\frac{1}{1-x}$

4. Montrer que : ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{1+x}{e^x}dx+{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{2}f\left(x\right)dx={\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{e^x\left(1-x\right)}$

5. Calculer : ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{1+x}{e^x}dx$

6. Montrer que : $\frac{1}{24}\le {\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{2}f\left(x\right)dx\le \frac{1}{12\sqrt{e}}$

VI- Exercices

6-6/ Exercice 6

Pour tout réel positif $a$, on définit $I\left(a\right)={\int }_1^a\frac{\ln x}{x^2}dx$.

1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que $I\left(a\right)=-\frac{\ln \left(a\right)+1}{a}+1$.

2. En déduire la limite de $I\left(a\right)$ quand $a$ tend vers $+\infty$.

On définit maintenant $J\left(a\right)={\int }_1^a\frac{\ln x}{x^2+1}dx$.

3. Vérifier que $\left(\forall x\ge 1\right): x^2\le x^2+1\le 2x^2$, puis montrer que $\frac{1}{2}I\left(a\right)\le J\left(a\right)\le I\left(a\right)$.