Math 2Bac SPC - Semestre 2 Devoir 1 Modèle 1

Exercice 1 (9 pts)

1. Montrer que :

$\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}=1-\frac{2}{1+e^x}$ 

2. Simplifier le nombre :

$E=\frac{e^{1-\ln 2}}{e^{1+\ln 2}}$

3. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ les équations et les inéquations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} e^{\frac{1}{x}}=e^x \\ \overline{)2} 3e^{2x}-e^x-2=0 \\ \overline{)3} 2^{x+1}=8 \\ \overline{)4} 1-2e^x<0 \end{gathered}$$

4. Calculer les limites suivantes :

Exercice 2 (5 pts)

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes $\mathrm{ℂ}$ l’équation : $z^2-4z+8=0$

On considère dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé directe $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d’affixes respectivement : $a=2+2i$, $b=2-2i$, $c=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ et $d=(1-\sqrt{3})+i(1+\sqrt{3})$.

2. Écrire chacun des nombres $b$ et $c$ sous la forme trigonométrique.

3. Vérifier que $bc=d$.

4. Déduire l'argument du nombre complexe $d$.

Soit le point $E$ l’image du point $B$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

5. Montrer que l’affixe du point $E$ est $e=-2-2i$ puis montrer que le triangle $ABE$ est rectangle et isocèle en $B$.

III- Exercice 3 (6 pts)

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $g\left(x\right)=e^x-x$

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)$.

2. Calculer $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$, puis donner le tableau de variation de $g$.

3. Déduire que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) ; g\left(x\right)>0$.

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=2e^x-x^2-1$

Soit $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans.un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

4. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$.

5. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ (Remarquer que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) ; f\left(x\right)=x^2\left(2\frac{e^x}{x^2}-1\right)-1$).

6. Déterminer les branches infinies de $\left(C_f\right)$.

7. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$ et que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) ; f\text{'}\left(x\right)=2g\left(x\right)$.

8. Donner le tableau de variation de $f$.

9. Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique  dans l’intervalle $]-0,6;-0,3[$.

10. Représenter $\left(C_f\right)$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.