Séance 11 - Vecteurs et translation

Sommaire

I- Les vecteurs

1-1/ Vocabulaire

1-2/ Égalité de deux vecteurs

1-3/ Vecteur opposé

1-4/ Somme de deux vecteurs

1-5/ Relation de Chasles

1-6/ Produit d’un vecteur par un nombre réel

1-7/ Propriété des points alignés et des droites parallèles

1-8/ Vecteur et milieu d’un segment

II- La translation

2-1/ Image d’un point par une translation

2-2/ Image des figures usuelles par une translation

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

3-7/ Exercice 7

I- Les vecteurs

1-1/ Vocabulaire

Définition

Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par trois composantes :

• La direction : la direction de la droite $\left(AB\right)$
• Le sens : de $A$ vers $B$
• La Longueur : la distance $AB$

Remarque

Tout point $A$ définit un vecteur nul noté $\overrightarrow{0}$, on écrit : $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

I- Les vecteurs

1-2/ Égalité de deux vecteurs

Propriété

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ signifie que :

• $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont la même direction : $\left(AB\right)\parallel \left(CD\right)$
• A$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont le même sens
• $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont la même longueur : $AB=CD$

  Remarque

  Si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ tel que les points ne sont pas alignés, alors le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

  Exemple

I- Les vecteurs

1-3/ Vecteur opposé

Définition

Le vecteur opposé d’un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur $\overrightarrow{BA}$, et on écrit : $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$.

Remarque

Deux vecteurs opposés ont la même direction et même longueur, mais ils ont des sens opposés.

Exemple

I- Les vecteurs

1-4/ Somme de deux vecteurs

Définition

La somme de deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ est le vecteur $\overrightarrow{AC}$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

On écrit : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Exemple

I- Les vecteurs

1-5/ Relation de Chasles

Propriété

Pour tous les points $A$, $B$ et $C$, on a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

C'est appelé : Relation de Chasles

Exemple

I- Les vecteurs

1-6/ Produit d’un vecteur par un nombre réel

Définition

Soit $k$ un nombre réel et $\overrightarrow{AB}$ un vecteur non nul.

Le vecteur $\overrightarrow{AC}$ est le produit du vecteur $\overrightarrow{AB}$ par le nombre réel $k$ si $C\in \left(AB\right)$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$

• Si $k>0$ alors $AC= k.AB$ et $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont le même sens.
• Si $k<0$ alors $AC= k.AB$ et $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont des sens contraires.

Exemple

I- Les vecteurs

1-7/ Propriété des points alignés et des droites parallèles

Propriété 1

Si $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ alors $A$, $B$ et $C$ sont des points alignés.

Propriété 2

Si $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{MN}$ alors $\left(AB\right)\parallel \left(MN\right)$, on dit que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MN}$ sont colinéaires.

Exemple

I- Les vecteurs

1-8/ Vecteur et milieu d’un segment

Propriété

$A$, $B$ et $M$ sont des points.

$M$ est le milieu de $\left[AB\right]$ signifie que :

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}\end{array}\right.$

Exemple

II- La translation

2-1/ Image d’un point par une translation

Définition

$A$ et $B$ sont deux points distincts.

$M\text{'}$ est l’image de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ signifie que :

• $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{AB}$
• $ABM\text{'}M$ est un parallélogramme

Remarque

Si $M\in \left(AB\right)$ alors $M\text{'}$ l’image de $M$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ appartient à la droite $\left(AB\right)$.

II- La translation

2-1/ Image d’un point par une translation

Propriété

Soient $M$ et $N$ deux points du plan.

Si $M\text{'}$ et $N’$ sont les images respectives des points $M$ et $N$ par une translation, alors $\overrightarrow{M\text{'}N\text{'}}=\overrightarrow{MN}$.

Exemple

II- La translation

2-2/ Image des figures usuelles par une translation

Propriété

L’image d’une droite $\left(AB\right)$ par une translation est une droite $(A’B’)$ parallèle à $\left(AB\right)$.

Exemple

II- La translation

2-2/ Image des figures usuelles par une translation

Propriété

L’image d’un segment $\left[AB\right]$ par une translation est un segment $[A\text{'}B’]$ de même longueur.

Exemple

II- La translation

2-2/ Image des figures usuelles par une translation

Propriété

L’image d’un angle $\widehat{ABC}$ par une translation est un angle $\widehat{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$ de même mesure.

Exemple

II- La translation

2-2/ Image des figures usuelles par une translation

Propriété

L’image d’un cercle $\left(\mathcal{C}\right)$ par une translation est un cercle $\left(\mathcal{C}\text{'}\right)$ de même rayon.

Exemple

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

Exprimer le plus simple possible les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}= \\ \overline{)2} \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}= \\ \overline{)3} \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{OA}= \\ \overline{)4} \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}= \\ \overline{)5} \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{ED}-\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AB}= \\ \overline{)6} 3\left(\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{DA}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{DA}\right)= \end{gathered}$$

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

On considère un triangle $ABC$.

Construire les points $K$, $L$, $M$ et $N$ tel que :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AL}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AM}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \end{gathered}$$

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

$ABC$ est un triangle

1. Construire le point $M$ l’image du point $C$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.

2. Construire le point $N$ tel que : $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$

3. Montrer que le point $C$ est le milieu du segment $\left[MN\right]$.

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

$EFG$ est un triangle et le point $I$ est le milieu de $\left[EG\right]$ et le point $H$ est le symétrique du point $F$ par rapport au point $I$.

Soit $t$ la translation qui transforme $E$ en $F$.

1. Construire le point $K$ l’image de $G$ par la translation $t$.

2. Montrer que $G$ est l’image de $H$ par la translation $t$.

3. En déduire que $G$ est le milieu de $\left[HK\right]$.

Soit $\left(C\right)$ le cercle de diamètre $HK$.

4. Déterminer l’image du cercle $\left(C\right)$ par la translation $t$.

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ des points dans le plan.

1. Prouver que les point $B$, $C$ et $D$ sont alignés si $5\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$.

2. Prouver que les point $A$, $C$ et $D$ sont alignés si $7\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{BD}$.

III- Exercices

3-6/ Exercice 6

Soit $ABC$ un triangle.

1. Construire les points $D$ et $E$ tel que $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{AB}$.

2. Montrer que : $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

3. En déduire que les points $A$, $E$ et $D$ sont alignés.

III- Exercices

3-7/ Exercice 7

$EFG$ est un triangle et $O$ est le milieu de $\left[FG\right]$.

On considère $t$ la translation qui transforme $E$ en $O$.

1. Construire les points $A$ et $B$ tel que $A$ est l’image de $F$ par la translation $t$ et $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{EO}$.

2. Prouver que $B$ est l’image de $G$ par la translation $t$.

3. Déterminer l’image de la droite $\left(EF\right)$ par la translation $t$.

4. Montrer que $\widehat{FEG}=\widehat{AOB}$.

Soit $K$ un point tel que : $\overrightarrow{FK}=-2\overrightarrow{EO}$.

5. Construire le point $K$.

6. Montrer que les points $A$, $K$ et $F$ sont alignés.