Sommaire

I- Critères de convergence

1-1/ Critère 1 (Théorème des gendarmes)

1-2/ Critère 2 (Théorème des gendarmes)

1-3/ Théorème

1-4/ Critère 3

II- Limite d’une suite de type $U_{n+1}=f\left(U_n\right)$

III- Limite d’une suite de type $V_n=f\left(U_n\right)$

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

I- Critères de convergence

1-1/ Critère 1 (Théorème des gendarmes)

Soient $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ trois suites numériques.

Si,  on a $v_n\le u_n\le w_n$  pour tout n de I et  $\underset{}{\lim }{v}_n=\lim w_n=\mathcal{l}$, alors $\left(u_n\right)$ est convergente et $\underset{}{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$.

Exemple

I- Critères de convergence

1-2/ Critère 2 (Théorème des gendarmes)

Soient $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ deux suites numériques et $\mathcal{l}$ un réel.

Si, on a  $\left|u_n-\mathcal{l}\right|\le v_n$ pour tout n de I  et $\underset{}{\lim }{v}_n=0$, alors $\left(u_n\right)$ est convergente et $\underset{}{\lim }{u}_n=\mathcal{l}$.

Exemple

I- Critères de convergence

1-3/ Théorème

Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente.

Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente.

I- Critères de convergence

1-4/ Critère 3

Soient $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ deux suites numériques.

Si   on a $u_n\ge v_n$ pour tout n de I ,et $\underset{}{\lim }{v}_n=+\infty$, alors $\underset{}{\lim }{u}_n=+\infty$.

Si   on a $u_n\le v_n$ pour tout n de I   et $\underset{}{\lim }{v}_n=-\infty$, alors $\underset{}{\lim }{u}_n=-\infty$.

Exemple

II- Limite d’une suite de type $U_{n+1}=f\left(U_n\right)$

Propriété

${\left(U_n\right)}_{n\in I}$ est la suite numérique définie par la relation récurrente du type $U_{n+1}=f\left(U_n\right)$, et de premier terme $U_0$, avec $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ telle que $f\left(I\right)\subset I$.
 
Si $U_0\in I$ et ${\left(U_n\right)}_{n\in I}$ est une suite convergente alors sa limite $\mathcal{l}$ est une solution de l’équation $f\left(x\right)=x$.

Exemple

III- Limite d’une suite de type $V_n=f\left(U_n\right)$

Propriété

si ${\left(U_n\right)}_{n\in I}$ est la suite numérique convergente , et sa limite vaut  L ,  et $f$  est une fonction continue en L,
 
Alors  la suite ${\left(V_n\right)}_{n\in I}$ définie par $V_n=f\left(U_n\right)$  une suite convergente et sa limite est f(L).

Exemple

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

On considère la fonction $h$ définie sur $[1,+\infty [$ par $h\left(x\right)=\sqrt{x}$

1. Étudier la monotonie de $h$ sur $[1,+\infty [$.

2. Montrer que $h\left([1,+\infty [\right)\subset [1,+\infty [$.

3. Étudier le signe de $h\left(x\right)-x$ sur $[1,+\infty [$.

4. Résoudre dans $[1,+\infty [$ l’équation $h\left(x\right)=x$.

On considère la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge 0} : \left\{\begin{array}{l}{u}_0=4\\ u_{n+1}=h\left(u_n\right)\end{array}\right. \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$

5. Montrer par récurrence que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : u_n\ge 1$.

6. Montrer que ${\left(u_n\right)}_{n\ge 0}$ est décroissante.

7. En déduire  qu’elle est convergente.

8. Calculer la limite de ${\left(u_n\right)}_{n\ge 0}$.

IV- Exercices

4-2/ Exercice 2

Soit $\left(u_n\right)$ une suite numérique définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=3\\ u_{n+1}=\frac{5u_n-4}{u_n}\end{array}\right. \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : 2\le u_n\le 4$.

2. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.

3. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) :0\le 4-u_{n+1}\le \frac{1}{2}\left(4-u_n\right)$.

4. En déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : 0\le 4-u_n\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

5. Calculer la limite de ${\left(u_n\right)}_{n\ge 0}$.

IV- Exercices

4-3/ Exercice 3

Soit $\left(u_n\right)$ une suite numérique définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=1\\ u_{n+1}=\frac{{u_n}^3}{3{u_n}^2+1}\end{array}\right. \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : u_n>0$.

2. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$. et en déduire qu’elle est convergente

3. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : u_{n+1}\le \frac{1}{3}{u}_n$.

4. En déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : 0<u_n\le {\left(\frac{1}{3}\right)}^n$.

5. Calculer limite de  $\left(u_n\right)$.

IV- Exercices

4-4/ Exercice 4

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}*$ par : $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$

1. Dresser le tableau de variation de $f$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=\frac{3}{2}$ et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$  pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

2. Calculer $u_1$ et $u_2$ (donner les résultats sous forme de fractions irréductibles, puis sous forme  décimales arrondies à ${10}^{-2}$ près).

3. Démontrer, par récurrence, que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \sqrt{2}\le u_{n+1}\le u_n\le \frac{3}{2}$

4. Démontrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_{n+1}-\sqrt{2}\le \frac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{2}\right)$.

5. En déduire, par récurrence, que pour tout entier $n$, on a : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 0<u_n-\sqrt{2}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\left(u_0-\sqrt{2}\right)$

6. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.