Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Séance 7 (Suites numériques – Partie 2)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Sommaire

 

 

I- Critères de convergence

1-1/ Critère 1 (Théorème des gendarmes)

1-2/ Critère 2 (Théorème des gendarmes)

1-3/ Théorème

1-4/ Critère 3

II- Limite d’une suite de type Un+1=fUn

III- Limite d’une suite de type Vn=fUn

IV- Exercices

4-1/ Exercice 1

4-2/ Exercice 2

4-3/ Exercice 3

4-4/ Exercice 4

 


I- Critères de convergence

 

1-1/ Critère 1 (Théorème des gendarmes)

Soient un, vn et wn trois suites numériques.

Si,  on a vnunwn  pour tout n de I et  limvn=limwn=l, alors un est convergente et limun=l.

Exemple

 

 

 

 

1-2/ Critère 2 (Théorème des gendarmes)

Soient un et vn deux suites numériques et l un réel.

Si, on a  un-lvn pour tout n de I  et limvn=0, alors un est convergente et limun=l.

Exemple

 

 

 

 

1-3/ Théorème

Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente.

Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente.

 

 

 

 

 

1-4/ Critère 3

Soient un et vn deux suites numériques.

Si   on a unvn pour tout n de I ,et limvn=+, alors limun=+.

Si   on a unvn pour tout n de I   et limvn=-, alors limun=-.

Exemple

 

 

 

II- Limite d’une suite de type Un+1=fUn

 

Propriété

UnnI est la suite numérique définie par la relation récurrente du type Un+1=fUn, et de premier terme U0, avec f est une fonction continue sur un intervalle I telle que fII.
 
Si U0I et UnnI est une suite convergente alors sa limite l est une solution de l’équation fx=x.

Exemple

 

 

 

III- Limite d’une suite de type Vn=fUn

 

Propriété

si UnnI est la suite numérique convergente , et sa limite vaut  L ,  et f  est une fonction continue en L,
 
Alors  la suite VnnI définie par Vn=fUn  une suite convergente et sa limite est f(L).

Exemple

IV- Exercices

 

4-1/ Exercice 1

On considère la fonction h définie sur [1,+[ par hx=x

  1. Étudier la monotonie de h sur [1,+[.
  1. Montrer que h[1,+[[1,+[.
  1. Étudier le signe de hx-x sur [1,+[.
  1. Résoudre dans [1,+[ l’équation hx=x.

On considère la suite unn0 : u0=4un+1=hun n

  1. Montrer par récurrence que n : un1.
  1. Montrer que unn0 est décroissante.
  1. En déduire  qu’elle est convergente.
  1. Calculer la limite de unn0.

 

 

4-2/ Exercice 2

Soit un une suite numérique définie par :  u0=3un+1=5un-4un n

  1. Montrer que n : 2un4.
  1. Étudier la monotonie de la suite un.
  1. Montrer que n :0 4-un+1124-un.
  1. En déduire que n : 04-un12n.
  1. Calculer la limite de unn0.

 

 

4-3/ Exercice 3

Soit un une suite numérique définie par :  u0=1un+1=un33un2+1 n

  1. Montrer que n : un>0.
  1. Étudier la monotonie de la suite un. et en déduire qu’elle est convergente
  1. Montrer que n : un+113un.
  1. En déduire que n : 0<un13n.
  1. Calculer limite de  un.

 

 

4-4/ Exercice 4

Soit f la fonction définie sur * par : fx=12x+2x

  1. Dresser le tableau de variation de f.

On considère la suite un définie par u0=32 et un+1=fun  pour tout n.

  1. Calculer u1 et u2 (donner les résultats sous forme de fractions irréductibles, puis sous forme  décimales arrondies à 10-2 près).
  1. Démontrer, par récurrence, que n 2un+1un32
  1. Démontrer que n un+1-212un-2.
  1. En déduire, par récurrence, que pour tout entier n, on a : n 0<un-212nu0-2
  1. En déduire la limite de la suite un.