Mathématiques : 2Bac Eco-SGC
Séance 6 (Suites numériques – Partie 1)
Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak
Sommaire
I- Suites numérique (Rappels)
1-1/ Définition
1-2/ Rappel 1 : Suites arithmétiques et suites géométrique
1-3/ Rappel 2 : Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée
1-4/ Rappel 3 : Monotonie d’une suite numérique
II- Limite d’une suite numérique
2-1/ Limite de suites de référence
2-2/ Limite de la suite géométrique qn avec q∈ℝ*
III- Convergence d’une suite
IV- Exercices
4-1/ Exercice 1
4-2/ Exercice 2
4-3/ Exercice 3
4-4/ Exercice 4
I- Suites numérique (Rappels)
1-1/ définition
Toute fonction u définie sur l’ensemble ℕ ou d’une partie I de ℕ vers ℝ est dite suite numérique.
Notation et vocabulaire.
- L’image de n par la suite u est notée un.
- La suite est notée (un)n∈I (ou plus simplement (un) si n∈ℕ ).
- un est un « terme » de la suite, et on l’appelle terme général de la suite.
- up est un « terme » de la suite, et on l’appelle le premier terme de la suite.
- On peut définir une suite par une formule explicite, c'est-à-dire par une relation du type : un=f(n)
- On peut définir une suite par récurrence, c'est-à-dire par la donnée d'un (premier) terme et par une relation du type un+1=f(un) ou par d’autres types.
I- Suites numérique (Rappels)
1-2/ Rappel 1 : Suites arithmétiques et suites géométrique
Suite arithmétique | Suite géométrique | |
Définition |
(∀n∈ℕ) un+1-un=r | (∀n∈ℕ) un+1=qun ou un+1un=q |
Le terme général |
un=up+r(n-p) | un=up×qn-p |
La somme des termes d’une suite |
S=up+up+1+...+unS=(n-p+1)(up+un2) | S=up+up+1+...+unS=up(1-qn-p+11-q) |
Exemple
I- Suites numérique (Rappels)
1-3/ Rappel 2 : Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée
Une suite majorée :
(∀n∈I) (∃M∈ℝ) un≤M
Une suite minorée :
(∀n∈I) (∃m∈ℝ) un≥m
Une suite bornée :
(∀n∈I) (∃m,M∈ℝ) m≤un≤M
Exemple
I- Suites numérique (Rappels)
1-4/ Rappel 3 : Monotonie d’une suite numérique
Suite croissante :
(∀n∈I) un+1≥un
Suite décroissante :
(∀n∈I) un+1≤un
Exemple
II- Limite d’une suite numérique
2-1/ Limite de suites de référence
Propriété 1
limn→+∞1n=0 ; limn→+∞1n2=0 ; limn→+∞1√n=0 ; limn→+∞1nk=0limn→+∞n=+∞ ; limn→+∞n2=+∞ ; limn→+∞√n=+∞ ; limn→+∞nk=+∞
Exemple
II- Limite d’une suite numérique
2-1/ Limite de suites de référence
Propriété 2
(un) est une suite numérique et l un réel :
limn→+∞un-l=0⇔limn→+∞un=l
Propriété 3
Si la suite (un) admet une limite l alors cette limite est unique.
II- Limite d’une suite numérique
2-2/ Limite de la suite géométrique qn avec q∈ℝ*
Propriété
Soit q un nombre réel non nul :
q | q≤-1 | -1<q<1 | q=1 | q>1 |
limn→+∞qn | pas de limite | 0 | 1 | +∞ |
Exemple
III- Convergence d’une suite
Définition
(un) est une suite convergente si elle admet une limite finie.
(un) est une suite divergente si elle n’est pas convergente.
Exemple
IV- Exercices
4-1/ Exercice 1
(un) est la suite numérique définie par : {u0=3un+1=23un+5 (∀n∈ℕ)
- Calculer u1 et u2
- Montrer par récurrence que : (∀n∈ℕ) : un<15
- Montrer que (un) est croissante et qu’elle est convergente
On pose (∀n∈ℕ) vn=un-15
- Montrer que (vn) est une suite géométrique.
- Exprimer vn en fonction de n et en déduire un en fonction de n.
- Calculer Sn=v0+v1+......+vn en fonction de .
- Calculler limite de
VI- Exercices
4-2/ Exercice 2
est la suite numérique définie par :
- Montrer que
On pose
- Montrer que est une suite arithmétique.
- En déduire et en fonction de .
- Calculer la limite de
- Calculer en fonction de .
IV- Exercices
4-3/ Exercice 3
est la suite numérique définie par :
- Calculer et
- Montrer par récurrence que :
- Montrer que
- En déduire que est décroissante et qu’elle est convergente
On pose .
- Montrer que est une suite arithmétique.
- Exprimer en fonction de et en déduire en fonction de .
- Calculler limite de
IV- Exercices
4-4/ Exercice 4
Considérons la suite numérique définie par et pour tout .
- Calculer et .
- Montrer par récurrence que .
- Montrer que .
- Déduire la monotonie de , puis montrer qu’elle est convergente.
- Montrer que , et déduire que .
Posons pour tout .
- Calculer , et montrer que est une suite géométrique de raison .
- Calculer en fonction de , et déduire que .
- Calculer .
Posons .
- Montrer que .