Math 2Bac Eco-SGC - Semestre 1 Devoir 2 Modèle 1

I- Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par $f\left(x\right)=x\sqrt{x^2+1}$

1) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur son domaine de définition qu’on déterminera

2)

a- Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $0$ et en $\sqrt{2}$

b- Calculer ${\left(f^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(\sqrt{2}\right)$ (on remarque que  $f\left(1\right)=\sqrt{2}$)

II- Exercice 2

Partie 1

On considère la fonction numérique $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par : $g\left(x\right)=x^3+\sqrt{x}-2$

1) Étudier la dérivabilité de $g$ à droite en $0$

2) Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$

3)

a- Calculer $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in ]0;+\infty [$

b- En déduire que $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty [$

c- Dresser le tableau de variations de $g$

4) Calculer $g\left(1\right)$ et en déduire le signe de $g\left(x\right)$ pour tout $x\in [0;+\infty [$

Partie 2

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $f\left(x\right)=\frac{x^3-4\sqrt{x}+4}{x}$

Et soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$  sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$

1) Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu

2)

a- Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

b- Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}-+\infty$ et interpréter le résultat graphiquement

3)

a- Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$ on a : $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2g\left(x\right)}{x^2}$

b- Dresser le tableau de variation de la fonction $f$

4) Écrire une équation de la tangente $\left(T\right)$ à la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au point d’abscisse $4$

5) Tracer $\left({\mathcal{C}}_f\right)$