Math 2Bac Eco-SGC - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 1

I- Exercice 1

Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x-1 ; x<1\\ \sqrt{x} ; x\ge 1\end{array}\right.$

1)

a- Montrer que $f$ est continue en 1

b- Étudier la continuité de $f$ sur $]-\infty ;1[$ et sur $[1;+\infty [$

c- Étudier la continuité de $f$ sur $\mathrm{ℝ}$

2)

a- Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de 1 et interpréter le résultat

b- Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche de 1 et interpréter le résultat

II- Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=x^2+\sqrt{x}-1$

1) Déterminer le domaine de définition de $f$

2) Calculer $f\left(1\right)$ et $f\left(0\right)$

3) Calculer $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)$

4)

a- Montrer que $f$ est continue sur $[0,+\infty [$

b- Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de 0 puis interpréter le résultat

c- Calculer $f\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in ]0;+\infty [$

d- Dresser le tableau de variations de $f$

5)

a- Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution $\alpha$ tel que $\alpha \in ]0;1[$

b- Déduire le signe de $f$ sur les intervalles $[0;\alpha ]$ et $[\alpha ;+\infty [$

6)

a- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$

b- Déterminer l’intervalle $J$

c- Montrer que $f^{-1}$ est strictement croissante sur $J$

d- Déterminer ${\left(f^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(1\right)$