Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Séance 4 (Dérivabilité d’une fonction numérique)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-1/ Nombre dérivé en un point

1-2/ Interprétation géométrique du nombre dérivé

II- Dérivabilité à droite – dérivabilité à gauche

2-1/ Définition et propriété

2-2/ Interprétation géométrique

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-1/ Définition

3-2/ Propriété

3-3/ Tableau des dérivées usuelles

3-4/ Opérations sur les fonctions dérivées

IV- Applications de la dérivation

4-1/ Variations d’une fonction

4-2/ Valeur minimale et maximale

4-3/ Étude de la concavité d’une courbe

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

 


I- Dérivabilité d’une fonction en un point

 

1-1/ Nombre dérivé en un point

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I , et soit aI

On dit que f est dérivable en a, s’il existe un réel l tel que : limxafx-fax-a=l

Le nombre l est appelé le nombre dérivé de la fonction f en a,  noté  f'a , et on écrit :

 limxafx-fax-a=f'a 

Exemple

 

 

 


I- Dérivabilité d’une fonction en un point

 

1-2/ Interprétation géométrique du nombre dérivé

Propriété

Si f est une fonction dérivable en a, alors l’équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse a est donnée par :

y=f'ax-a+fa

Exemple

 

 

 


II- Dérivabilité à droite – dérivabilité à gauche

 

2-1/ Définition et propriété

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle de type [a,a+r[r>0

On dit que f est dérivable à droite de a, s’il existe un réel l tel que limxa+fx-fax-a=l    

Le nombre l est appelé le nombre dérivé de la fonction f à droite en a,noté  f'da

 

Soit f une fonction définie sur un intervalle de type ]a-r,a]r>0

On dit que f est dérivable à gauche de a, s’il existe un réel l tel que limxa-fx-fax-a=l

Le nombre l est appelé le nombre dérivé de la fonction f à gauche en a,  noté  f'ga

Exemple

 

 

 


II- Dérivabilité à droite – dérivabilité à gauche

 

2-1/ Définition et propriété

Propriété

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I , et soit aI

f est dérivable en a f est dérivable à droite et à gauche en a et f'da=f'ga

Exemple

 

 

 


II- Dérivabilité à droite – dérivabilité à gauche

 

2-2/ Interprétation géométrique

Propriété

Si f est dérivable à droite en a, alors la courbe Cf admet une demi-tangente à droite du point d’abscisse a, d’équation : y=f'dax-a+faxa

Si f est dérivable à gauche en a, alors la courbe Cf admet une demi-tangente à gauche du point d’abscisse a, d’équation : y=f'gax-a+faxa

 

Exemple

 

 

 


II- Dérivabilité à droite – dérivabilité à gauche

 

2-2/ Interprétation géométrique

Remarques

A- Si f dérivable à droite et à gauche en a, et f'daf'ga

B- Si limxa+fx-fax-a=, alors Cf  admet une demi-tangente verticale à droite du point d’abscisse a.

limxa+fx-fax-a=+ limxa+fx-fax-a=-

 

C- Si limxa-fx-fax-a=, alors Cf admet une demi-tangente verticale à gauche du point d’abscisse a.

limxa-fx-fax-a=+ limxa-fx-fax-a=-

 


III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

 

3-1/ Définition

On dit que f est dérivable sur l’intervalle ouvert ]a,b[ si f est dérivable en tout point de l’intervalle ]a,b[.

On dit que f est dérivable sur l’intervalle fermé a,b si f est dérivable sur l’intervalle ]a,b[, et dérivable à droite en a et à gauche en b.

 

 

 

 


III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

 

3-2/ Propriété

Toute fonction polynomiale est dérivable sur .

Toute fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition.

La fonction xx est dérivable sur ]0,+[.

Exemple

 

 

 


III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

 

3-3/ Tableau des dérivées usuelles

Exemple

 

 

 


III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

 

3-4/ Opérations sur les fonctions dérivées

Propriété 1

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et soit α.

Les fonctions f+g et f×g sont dérivables sur  I, et on a :

f+g'=f'+g'α.f'=α.f'f×g'=f'.g+f.g'

Si g ne s’annule pas sur I, alors les fonctions 1g et fg sont dérivables sur I, et on a :

αg'=-α.g'g2fg'=f'.g-f.g'g2

Exemple

 

 

 


III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

 

3-4/ Opérations sur les fonctions dérivées

Propriété 2

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, et soit n*, on a :

La fonction fn est dérivable sur I, et on a : fn'=n.f'.fn-1

Si f est strictement positive sur I, alors la fonction f est dérivable sur I, et on a : f'=f'2f

Exemple

 

 

 


III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

 

3-4/ Opérations sur les fonctions dérivées

Propriété 3 (Dérivée de la fonction Réciproque)

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I de , et soit aI

Si f est dérivable en a et f'a0, alors f-1 est dérivable en fa et f-1'fa=1f'a

Corollaire

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I de

Si f est dérivable sur I telle que la fonction f' ne s’annule pas sur I, alors la fonction f-1 est dérivable sur J=fI.

De plus pour tout xJ on a: f-1'x=1f'f-1x

Exemple

 

 

 


IV- Applications de la dérivation

 

4-1/ Variations d’une fonction

Propriété 1

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors:

f est croissante sur IxI: f'x0

f est strictement croissante sur IxI: f'x>0

f est décroissante sur IxI: f'x0

f est strictement décroissante sur IxI: f'x<0

f est constante sur IxI: f'x=0

Exemple

 

 

 


IV- Applications de la dérivation

 

4-1/ Variations d’une fonction

Propriété 2

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, alors :

Si f' est positive sur I, et ne s’annule qu’en un nombre fini des points, alors f est strictement croissante sur I.

Si f' est négative sur I, et ne s’annule qu’en un nombre fini des points, alors f est strictement décroissante sur I.

Exemple

 

 

 


IV- Applications de la dérivation

 

4-2/ Valeur minimale et maximale

Propriété 1

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, et soit aI

Si f admet un extremum en un point a, alors f'a=0

f admet un maximum en a f admet un minimum en a
Propriété 2

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, et soit aI

Si f s’annule en a en changeant de signe, alors f admet un extremum en a.

Exemple

 

 

 


IV- Applications de la dérivation

 

4-3/ Étude de la concavité d’une courbe

Définition

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, alors:

Pour que la courbe de f soit convexe sur I,il faut et il suffit que xI: f''x0

Pour que la courbe de f soit concave sur I,il faut et il suffit que xI: f''x0

Pour que le point ma,fa soit un point d'inflexion de la courbe Cf, il faut et il suffit que la dérivée seconde f'' s'annule en a, et change de signe de part et d'autre de a.

Exemple

 

 

 


V- Exercices

 

5-1/ Exercice 1

Étudier la dérivabilité de la fonction f en a dans chacun des cas suivants :

1- fx=x2+x et a=32- fx=3+x et a=13- fx=1x+1 x-1f-1=2 et a=-1

 


V- Exercices

 

5-2/ Exercice 2

Pour chacun des cas suivants indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction f puis déterminer f' :

1- fx=3x7-4x3-6x-12- fx=x-5x3- fx=2x-3x2+54- fx=1x4+3x+15- fx=xx+16- fx=1x+x247- fx=2x2+3

 


V- Exercices

 

5-3/ Exercice 3

Soit f la fonction numérique définie par : fx=x3-3x-3

  1. Étudier les variations de la fonction f

Soit g la restriction de f sur [1,+[

  1. Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer
  1. Montrer que l’équation gx=0 admet une unique solution α et que 2<α<3
  1. Montrer que : g-1'0=13a2-1

 


V- Exercices

 

5-4/ Exercice 4

En utilisant la fonction dérivée, étudier les variations de la fonction f dans chacun des cas suivants :

1- fx=x2+4x-12- fx=x3-3x2+13- fx=x-12x+3

 


V- Exercices

 

5-5/ Exercice 5

     Soit f la fonction définie par : fx=4x3-x2-1

  1.  Déterminer Df
  1. Déterminer f' la fonction dérivée de la fonction f.
  1. Donner le tableau de variations de la fonction f.
  1. Déterminer les extremums de la fonction f.
  2. Etudier la concavité de Cf.

 

 


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