Mathématiques : 2Bac Eco-SGC

Séance 3 (Continuité – Partie 2)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Théorème des valeurs intermédiaires

1-1/ Théorème

1-2/ Méthode dichotomie

II- La fonction réciproque

2-1/ Propriété 1

2-2/ Propriété 2

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

 


I- Théorème des valeurs intermédiaires

 

1-1/ Théorème

Si f est une fonction continue sur un intervalle a;b et k un réel quelconque compris entre fa et fb, alors il existe au moins un réel c dans a;b tel que fc=k

Géométriquement

Exemple

 


I- Théorème des valeurs intermédiaires

 

Conséquence 1

f est continue sur l’intervalle a;b et fa×fb0 , alors l’équation fx=0 admet au moins une solution dans l’intervalle a;b.

Exemple

 

 

 


I- Théorème des valeurs intermédiaires

 

Conséquence 2

Si f est continue et strictement monotone sur l’intervalle a;b et fa×fb0 , alors l’équation fx=0 admet une solution unique dans l’intervalle a;b.

Exemple

 

 

 


I- Théorème des valeurs intermédiaires

 

1-2/ Méthode dichotomie

Si f une fonction numérique  continue et strictement monotone sur un intervalle a;b et  fa×fb0, alors l’équation fx=0 admet une unique solution α dans l’intervalle a;b

L’algorithme de la méthode dichotomie

On détermine  fc l’image de centre   du a;b tel que c=a+b2

  • Si fa×fc0 alors αa;c
  • Si fc×fb0 alors αc;b

On reprend les mêmes étapes sur l’intervalle qui contient α jusqu’à avoir un encadrement d’amplitude convenable

.Exemple :

II- La fonction réciproque

 

2-1/ Propriété 1

Si f est continue et strictement monotone sur intervalle I, alors f admet une fonction réciproque notée f-1 et définie de J=fI vers I telle que :

xfI ; yI ; f-1x=yfy=x

Exemple

 

 

 


II- La fonction réciproque

 

2-2/ Propriété 2

Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors   f admet  f-1  définie sur J=fI  et on a :

-  f-1 est continue sur J=fI

-   f-1 est strictement monotone sur J=fI  et elle a le même sens de variation que fsur I.

- Les courbes représentatives de f et f-1 dans un repère orthonormé sont symétrique par rapport à la droite d’équation y=x (la première bissectrice du repère).

 

 

 

 


III- Exercices

 

3-1/ Exercice 1

f est la fonction définie sur  par :

fx=x3+4x-1

  1. Étudier les variations de f

  2. Déduire que l’équation fx=0 admet une seule solution a dans  2;3

  3. Déterminer un encadrement de a d’amplitude 0,5

 


III- Exercices

 

3-2/ Exercice 2

A- Soit f la fonction définie sur [0;+[ par : fx=x2+1

  1. Montrer que  f admet une fonction réciproque

  1. Déterminer l’expression de f-1x

B- Soit g la fonction définie sur ]0;+[ par : gx=1-1x

  1. Montrer que g admet une fonction réciproque g-1 définie sur un intervalle J à déterminer.

  1. Calculer g-1-1 sans déterminer l’expression de g-1x.

 


III- Exercices

 

3-3/ Exercice 3

C- Soit f la fonction définie sur ]1;+[ par : fx=2x+3x-1

  1. Montrer que  f  admet une fonction réciproque f-1 définie sur un intervalle J à déterminer.

  1. Déterminer l’expression de f-1x pout tout xJ


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