Math 2Bac Eco-SGC - Semestre 1 Devoir 3 Modèle 1

Soit la suite $(u_{n})$ définie par $\{\begin{cases} u_{0} = \frac{1}{2} \\ u_{n + 1} = \frac{3 u_{n}}{1 + 2 u_{n}}; \forall n \in ℕ \end{cases}$

1) Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$

2) Montrer par récurrence que : $\forall n \in ℕ; 0 < u_{n} < 1$

3) Démontrer que la suite $(u_{n})$ est croissante

4) Déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente

Soit $(v_{n})$ la suite définie par : $\forall n \in ℕ; v_{n} = \frac{u_{n}}{1 - u_{n}}$

a- Montrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $q = 3$

b- Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$

c- Exprimer $u_{n}$ en fonction de $v_{n}$

d- Déduire $v_{n}$ en fonction de $n$

6) Déterminer la limite de $u_{n}$

Soit $f$ définie par $f (x) = 3 x - 1 + \frac{1}{x - 2}$

Soit $(C_{f})$ la courbe de la fonction dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$

1) Déterminer le domaine de définition de $f$

a- Calculer $\lim_{x \to + \infty} f (x)$ et $\lim_{x \to - \infty} f (x)$

b- Montrer que $(C_{f})$ admet une asymptote inclinée d’équation $y = 3 x - 1$ au voisinage de $+ \infty$ et de $- \infty$

3) Calculer $\lim_{x \to 2^{+}} f (x)$ et $\lim_{x \to 2^{-}} f (x)$ puis donner l’interprétation géométrique

a- Déterminer l’intersection de $(C_{f})$ et l’axe des abscisses

b- Déterminer l’intersection de $(C_{f})$ et l’axe des ordonnées

a- Calculer $f' (x)$ pour tout $x \in D_{f}$

b- Étudier le signe de $f' (x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$

6) Calculer $f'' (x)$ pour tout $x \in D_{f}$

7) Étudier la convexité de $(C_{f})$

8) Tracer $(C_{f})$

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