Séance 4 - Dérivabilité d’une fonction numérique

Sommaire

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-1/ Nombre dérivé en un point

1-2/ Interprétation géométrique du nombre dérivé

II- Dérivabilité à droite – dérivabilité à gauche

2-1/ Définition et propriété

2-2/ Interprétation géométrique

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-1/ Définition

3-2/ Propriété

3-3/ Tableau des dérivées usuelles

3-4/ Opérations sur les fonctions dérivées

IV- Applications de la dérivation

4-1/ Variations d’une fonction

4-2/ Valeur minimale et maximale

4-3/ Étude de la concavité d’une courbe

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-1/ Nombre dérivé en un point

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ , et soit $a\in I$

On dit que $f$ est dérivable en $a$, s’il existe un réel $\mathcal{l}$ tel que : $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\mathcal{l}$

Le nombre $\mathcal{l}$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$,  noté  $f\text{'}\left(a\right)$ , et on écrit :

$\overline{) \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=f\text{'}\left(a\right) }$

Exemple

I- Dérivabilité d’une fonction en un point

1-2/ Interprétation géométrique du nombre dérivé

Propriété

Si $f$ est une fonction dérivable en $a$, alors l’équation de la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d’abscisse $a$ est donnée par :

$y=f\text{'}\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$

Exemple

II- Dérivabilité à droite – dérivabilité à gauche

2-1/ Définition et propriété

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de type $[a,a+r[$ où $r>0$

On dit que $f$ est dérivable à droite de $a$, s’il existe un réel $\mathcal{l}$ tel que $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\mathcal{l}$    

Le nombre $\mathcal{l}$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à droite en $a$,noté  $f{\text{'}}_d\left(a\right)$

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de type $]a-r,a]$ où $r>0$

On dit que $f$ est dérivable à gauche de $a$, s’il existe un réel $\mathcal{l}$ tel que $\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\mathcal{l}$

Le nombre $\mathcal{l}$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à gauche en $a$,  noté  $f{\text{'}}_g\left(a\right)$

Exemple

II- Dérivabilité à droite – dérivabilité à gauche

2-1/ Définition et propriété

Propriété

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ , et soit $a\in I$

$f$ est dérivable en $a \iff f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$ et $f{\text{'}}_d\left(a\right)=f{\text{'}}_g\left(a\right)$

Exemple

II- Dérivabilité à droite – dérivabilité à gauche

2-2/ Interprétation géométrique

Propriété

Si $f$ est dérivable à droite en $a$, alors la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet une demi-tangente à droite du point d’abscisse $a$, d’équation : $\left\{\begin{array}{l}y=f{\text{'}}_d\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)\\ x\ge a\end{array}\right.$

Si $f$ est dérivable à gauche en $a$, alors la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet une demi-tangente à gauche du point d’abscisse $a$, d’équation : $\left\{\begin{array}{l}y=f{\text{'}}_g\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)\\ x\le a\end{array}\right.$

Exemple

II- Dérivabilité à droite – dérivabilité à gauche

2-2/ Interprétation géométrique

Remarques

A- Si $f$ dérivable à droite et à gauche en $a$, et $f{\text{'}}_d\left(a\right)\ne f{\text{'}}_g\left(a\right)$

B- Si $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\infty$, alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$  admet une demi-tangente verticale à droite du point d’abscisse $a$.

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=+\infty$	$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=-\infty$

C- Si $\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\infty$, alors $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet une demi-tangente verticale à gauche du point d’abscisse $a$.

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=+\infty$	$\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=-\infty$

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-1/ Définition

On dit que $f$ est dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$ si $f$ est dérivable en tout point de l’intervalle $]a,b[$.

On dit que $f$ est dérivable sur l’intervalle fermé $\left[a,b\right]$ si $f$ est dérivable sur l’intervalle $]a,b[$, et dérivable à droite en $a$ et à gauche en $b$.

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-2/ Propriété

Toute fonction polynomiale est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$.

Toute fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition.

La fonction $x\to \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0,+\infty [$.

Exemple

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-3/ Tableau des dérivées usuelles

Exemple

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-4/ Opérations sur les fonctions dérivées

Propriété 1

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et soit $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

Les fonctions $f+g$ et $f\times g$ sont dérivables sur  $I$, et on a :

$$\begin{gathered} \left(f+g\right)\text{'}=f\text{'}+g\text{'} \\ \left(\alpha .f\right)\text{'}=\alpha .f\text{'} \\ \left(f\times g\right)\text{'}=f\text{'}.g+f.g\text{'} \end{gathered}$$

Si $g$ ne s’annule pas sur $I$, alors les fonctions $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont dérivables sur $I$, et on a :

$$\begin{gathered} {\left(\frac{\alpha }{g}\right)}^{\text{'}}=\frac{-\alpha .g\text{'}}{g^2} \\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\text{'}.g-f.g\text{'}}{g^2} \end{gathered}$$

Exemple

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-4/ Opérations sur les fonctions dérivées

Propriété 2

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et soit $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, on a :

La fonction $f^n$ est dérivable sur $I$, et on a : ${\left(f^n\right)}^{\text{'}}=n.f\text{'}.f^{n-1}$

Si $f$ est strictement positive sur $I$, alors la fonction $\sqrt{f}$ est dérivable sur $I$, et on a : ${\left(\sqrt{f}\right)}^{\text{'}}=\frac{f\text{'}}{2\sqrt{f}}$

Exemple

III- Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3-4/ Opérations sur les fonctions dérivées

Propriété 3 (Dérivée de la fonction Réciproque)

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$, et soit $a\in I$

Si $f$ est dérivable en $a$ et $f\text{'}\left(a\right)\ne 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $f\left(a\right)$ et ${\left(f^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(f\left(a\right)\right)=\frac{1}{f\text{'}\left(a\right)}$

Corollaire

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ de $\mathrm{ℝ}$

Si $f$ est dérivable sur $I$ telle que la fonction $f\text{'}$ ne s’annule pas sur $I$, alors la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur $J=f\left(I\right)$.

De plus pour tout $x\in J$ on a: ${\left(f^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{f\text{'}\left(f^{-1}\left(x\right)\right)}$

Exemple

IV- Applications de la dérivation

4-1/ Variations d’une fonction

Propriété 1

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors:

$f$ est croissante sur $I\iff \left(\forall x\in I\right): f\text{'}\left(x\right)\ge 0$

$f$ est strictement croissante sur $I\iff \left(\forall x\in I\right): f\text{'}\left(x\right)>0$

$f$ est décroissante sur $I\iff \left(\forall x\in I\right): f\text{'}\left(x\right)\le 0$

$f$ est strictement décroissante sur $I\iff \left(\forall x\in I\right): f\text{'}\left(x\right)<0$

$f$ est constante sur $I\iff \left(\forall x\in I\right): f\text{'}\left(x\right)=0$

Exemple

IV- Applications de la dérivation

4-1/ Variations d’une fonction

Propriété 2

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors :

Si $f\text{'}$ est positive sur $I$, et ne s’annule qu’en un nombre fini des points, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

Si $f\text{'}$ est négative sur $I$, et ne s’annule qu’en un nombre fini des points, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Exemple

IV- Applications de la dérivation

4-2/ Valeur minimale et maximale

Propriété 1

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$, et soit $a\in I$

Si $f$ admet un extremum en un point $a$, alors $f\text{'}\left(a\right)=0$

$f$ admet un maximum en $a$	$f$ admet un minimum en $a$

Propriété 2

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$, et soit $a\in I$

Si $f$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum en $a$.

Exemple

IV- Applications de la dérivation

4-3/ Étude de la concavité d’une courbe

Définition

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$, alors:

Pour que la courbe de $f$ soit convexe sur $I$,il faut et il suffit que $\left(\forall x\in I\right): f\text{'}\text{'}\left(x\right)\ge 0$

Pour que la courbe de $f$ soit concave sur $I$,il faut et il suffit que $\left(\forall x\in I\right): f\text{'}\text{'}\left(x\right)\le 0$

Pour que le point $m\left(a,f\left(a\right)\right)$ soit un point d'inflexion de la courbe ${\mathcal{C}}_f$, il faut et il suffit que la dérivée seconde $f\text{'}\text{'}$ s'annule en $a$, et change de signe de part et d'autre de $a$.

Exemple

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ en $a$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} 1- f\left(x\right)=x^2+x et a=3 \\ 2- f\left(x\right)=\sqrt{3+x} et a=1 \\ 3-\left\{\begin{array}{l} f\left(x\right)=\frac{1}{x+1} \left(x\ne -1\right)\\ f\left(-1\right)=2\end{array}\right. et a=-1 \end{gathered}$$

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

Pour chacun des cas suivants indiquer l’ensemble de dérivabilité de la fonction $f$ puis déterminer $f\text{'}$ :

$$\begin{gathered} 1- f\left(x\right)=3x^7-4x^3-6x-1 \\ 2- f\left(x\right)=\sqrt{x}-\frac{5}{x} \\ 3- f\left(x\right)=\left(2x-3\right)\left(x^2+5\right) \\ 4- f\left(x\right)=\frac{1}{x^4}+3x+1 \\ 5- f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x}+1} \\ 6- f\left(x\right)={\left(\frac{1}{x}+x^2\right)}^4 \\ 7- f\left(x\right)=\sqrt{2x^2+3} \end{gathered}$$

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f\left(x\right)=x^3-3x-3$

1. Étudier les variations de la fonction $f$

Soit $g$ la restriction de $f$ sur $[1,+\infty [$

2. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle $J$ à déterminer

3. Montrer que l’équation $g\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et que $2<\alpha <3$

4. Montrer que : ${\left(g^{-1}\right)}^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{3\left(a^2-1\right)}$

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

En utilisant la fonction dérivée, étudier les variations de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :

$$\begin{gathered} 1- f\left(x\right)=x^2+4x-1 \\ 2- f\left(x\right)=x^3-3x^2+1 \\ 3- f\left(x\right)=\frac{x-1}{2x+3} \end{gathered}$$

V- Exercices

5-5/ Exercice 5

Soit $f$ la fonction définie par : $f\left(x\right)=4x^3-x^2-1$

1.  Déterminer ${\mathcal{D}}_f$

2. Déterminer $f\text{'}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

3. Donner le tableau de variations de la fonction $f$.

4. Déterminer les extremums de la fonction $f$.

5. Etudier la concavité de ${\mathcal{C}}_f$.

V- Exercices

5-6/ Exercice 6

     Soit $f$ la fonction définie par : $f\left(x\right)=x+\sqrt{x-1}$

1. Montrer que $f$ est dérivable sur $]1;+\infty [$ puis calculer $f\text{'}\left(x\right)$.

2. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

3. Calculer $f\left(2\right)$, montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $3$, puis calculer $\left(f^{-1}\right)\text{'}\left(3\right)$.

4. Calculer $f^{-1}\left(x\right)$ en fonction de $x$.