Séance 2 - Continuité (Partie 1)

Sommaire

I- Continuité et continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point $x_0$

1-1/ Continuité d’une fonction en un point $x_0$

1-2/ Continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point $x_0$

II- Continuité sur un intervalle

2-1/ Définitions

III- Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle $I\subset \mathrm{ℝ}$

3-1/ Propriétés

IV- Continuité des fonctions usuelles

4-1/ Propriétés

V- Image d’un intervalle par une fonction continue

5-1/ Propriétés

VI- Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone

VII- Continuité de la composée de deux fonctions continues

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

8-5/ Exercice 5

8-6/ Exercice 6

I- Continuité et continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point $x_0$

1-1/ Continuité d’une fonction en un point $x_0$

Définition

$f$ est une fonction définie sur $D_f$ et $I_{x_0}$ est un intervalle ouvert et contient $x_0$ et inclus dans $D_f$

$f$ est continue au point $x_0\iff \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

Exemple

I- Continuité et continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point $x_0$

1-2/ Continuité à droite et à gauche d’une fonction en un point $x_0$

Définition 1

$f$ est une fonction définie sur $D_f$ et $I_d=[x_0,x_0+r[ ; \left(r>0\right)$ est un intervalle inclus dans $D_f$

$f$ est continue à droite au point $x_0\iff \underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

Définition 2

$f$ est une fonction définie sur $D_f$ et $I_g=]x_0-r,x_0] ; \left(r>0\right)$ est un intervalle inclus dans $D_f$

$f$ est continue à gauche au point $x_0\iff \underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

Propriété

$f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si $f$ continue à droite et à gauche de $x_0$.

Ou encore :

$f$ est continue au point $x_0\iff \underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

Exemples

II- Continuité sur un intervalle

2-1/ Définitions

$f$ est continue sur un intervalle ouvert $I=]a,b[\iff$ pour tout $x$ de $I$ ; $f$ est continue en $x$.

$f$ est continue sur $[a,b[\iff f$ est continue sur $]a,b[$ et $f$ est continue à droite de $a$.

$f$ est continue sur $]a,b]\iff f$ est continue sur $]a,b[$ et $f$ est continue à gauche de $b$.

$f$ est continue sur $[a,b]\iff f$ est continue sur $]a,b[$ et $f$ est continue à droite de $a$ et à gauche de $b$.

Exemples

III- Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle $I\subset \mathrm{ℝ}$

3-1/ Propriétés

$f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $I$.

Les fonctions $f+g$ et $f\times g$ et $\alpha f \left(\alpha \in \mathrm{ℝ}\right)$ sont continues sur $I$.

Les fonctions $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues sur $I$ ( pour $x\in I$ tel que $g\left(x\right)\ne 0$).

Exemples

IV- Continuité des fonctions usuelles

4-1/ Propriétés

Toute fonction polynomiale est continue sur $\mathrm{ℝ}$.

Toute fonction rationnelle est continue sur toute intervalle inclu dans $D_f$.

Les fonctions $x\mapsto \sin \left(x\right)$ et $x\mapsto \cos \left(x\right)$ sont continues sur $\mathrm{ℝ}$.

La fonction $x\mapsto \tan \left(x\right)$  est continue sur toute intervalle inclu dans $\mathrm{ℝ}-\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi } ; \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}$.

La fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0,+\infty [$.

Exemples

V- Image d’un intervalle par une fonction continue

5-1/ Propriétés

L'image du segment $[a,b]$ par une fonction continue est un segment $J=\left[m,M\right]$ (m est la plus petite image et M est la plus grande image par f des éléments de $[a,b]$) càd $f\left([a,b]\right)=\left[m,M\right]$

L'image d’un intervalle $I$ par une fonction continue est un intervalle $J$. On note $J=f\left(I\right)$

Exemples

VI- Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone

VII- Continuité de la composée de deux fonctions continues

1-1/ Théorème

$f$ est continue en $x_0$ et $g$ est continue en $f\left(x_0\right)$, alors la fonction $gof$ est continue en $x_0$

$f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $f\left(I\right)$, alors la fonction $gof$ est continue sur $I$

1-2/ Applications

$f\left(x\right)=\sin \left(ax+b\right)$ et $g\left(x\right)=\cos \left(ax+b\right)$ sont continues sur $\mathrm{ℝ}$

$h\left(x\right)=\tan \left(ax+b\right)$ est continue pour tout $x$ tel que $ax+b\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$
 
Si $f$ est positive et continue sur $I$ alors $g\left(x\right)=\sqrt{f\left(x\right)}$ est continue sur $I$.

Exemples

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

1. Étudier la continuité de $f$ en $x_0$ dans les cas suivants :

a- $x_0=5 et \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x^2-2x-15}{x^2-25} ; x\in \mathrm{ℝ} \backslash \{-5;5\}\\ f\left(5\right)=8\end{array}\right.$​

b- $x_0=-1 et \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{2}{x^3+1} ; x\in \mathrm{ℝ} \backslash \{-1\}\\ f(-1)=3\end{array}\right.$​

c- $x_0=3 et \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3} ; x\in [0;+\infty [ \backslash \left\{3\right\}\\ f\left(3\right)=\frac{1}{2\sqrt{3}}\end{array}\right.$

​Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$ définie par : 

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{1}{x+1} ; 0\le x<\frac{1}{2}\\ f\left(x\right)=2x+a{x}^2 ; \frac{1}{2}\le x\le 1\end{array}\right.$

2. Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ est continue en $x_0=\frac{1}{2}$

3. Etudier la continuité de $f$ en $x_0$ :

 $x_0=1 et \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x-1} ; x>1\\ f\left(x\right)=\frac{x-1}{\sqrt{2-x}-1} ; x<1\\ f\left(1\right)=-1\end{array}\right.$

IIX- Exercices

8-2/ Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $[2;+\infty [$ par :

$\left\{\begin{array}{l}\forall x >2, f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x-2}\\ f\left(2\right)=4\end{array}\right.$

1. Étudier la continuité de $f$ sur $[2;+\infty [$

IIX- Exercices

8-3/ Exercice 3

1. Calculer l’image de l’intervalle $I$ par $f$ dans les cas suivantes:

a- $f\left(x\right)=x^2-2x+3 ; I=[-2;3]$

b- $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+2} ; I=]-2;+\infty [$

c- $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+3x-1 ; I=]-\infty ;1]$

IIX- Exercices

8-4/ Exercice 4

1. Étudier la continuité de $f$ sur $I$ dans les cas suivants :

a- $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-1} ; I=[1;+\infty [$

b- $f\left(x\right)=\sqrt{-{\sin }^2\left(x\right)+\sin \left(x\right)+2} ; I=[0;\frac{\mathrm{\pi }}{6}[$

IIX- Exercices

8-5/ Exercice 5

On considéré la fonction $f$ définie par $f\left(2\right)=4$ et $f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x^2-x-2}$ si $x\ne 2$

1. Déterminer $D_f$.

2. Montrer que $f$ est continue en $x_0=2$.

3. Vérifier que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}-\left\{-1\right\}\right), f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+4}{x+1}$

4. Justifier que $f$ est continue sur chacun des intervalles $]-\infty ;-1[$ et $]-1;+\infty [$.

IIX- Exercices

8-6/ Exercice 6

On considéré la fonction $f$ définie par $f\left(1\right)=a$ et $f\left(x\right)=\frac{x^2\sqrt{x+3}-2}{1-x^2}$ si $x\ne 1$ où $a\in \mathrm{ℝ}$.

1. Déterminer $D_f$, puis calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Pour quelle valeur de $a$ la fonction $f$ est-elle continue en $x_0=1$ ?