Math 2Bac SPC - Semestre 1 Devoir 3 Modèle 1

I- Exercice 1

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes $\mathrm{ℂ}$ l'équation $z^2+2z+2=0$

On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectivement $a=-1+i$ , $b=1+i$, et $c=\left(1+\sqrt{3}\right)i$.

Soit $M\left(z\right)$ un point du plan complexe et $M\text{'}\left(z\text{'}\right)$ son image par la rotation $R$ de centre $O$ et d’angle $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$.

2. Montrer que $z\text{'}=-iz$

3. Déduire que le point $B$ est l’image du point $A$ par la rotation $R$.

4. Montrer que $\frac{a-b}{c-b}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Écrire le nombre complexe $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ sous la forme trigonométrique.

6. Déduire que le triangle $ABC$ est équilatéral.

II- Exercice 2

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}=\frac{7u_n+4}{2u_n+5}\\ u_0=3\end{array}\right.\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$.

1. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n>2$.

On pose : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) v_n=\frac{u_n-2}{u_n+1}$

2. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n=\frac{2+v_n}{1-v_n}$.

3. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et écrire $v_n$ en fonction de $n$.

4. Montrer que $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=0$, puis déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

III- Exercice 3

Partie 1

Soit la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty [$ par $g\left(x\right)=x^2+x+3-3\ln x$.

1. Montrer que $g\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(2x+3\right)\left(x-1\right)}{x}$ pour tout $x$ de $]0,+\infty [$

2. Déduire que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[1,+\infty [$ et décroissante sur l'intervalle $]0,1]$.

3. Déduire que $\left(\forall x\in ]0,+\infty [\right) g\left(x\right)>0$

Partie 2

On considère $f$ définie sur $]0,+\infty [$ par $f\left(x\right)=x+\left(\frac{x+3}{x}\right)\ln x$.

Soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Montrer que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, puis interprété géométriquement ce résultat.

2. Montrer que  $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=1$.

3. Montrer que la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet une branche parabolique de direction la droite $\left(\Delta \right)$ d’équation $y=x$ au voisinage de $+\infty$.

4. Montrer que $\left(\forall x\in ]0,+\infty [\right) f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{x^2}$.

5. Donner le tableau de variation de la fonction $f$.

6. Étudier le signe de $f\left(x\right)-x$ sur l’intervalle $]0,+\infty [$.

7. Déduire que la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est au dessus de $\left(\Delta \right)$ sur l’intervalle $[1,+\infty [$, et au dessous de $\left(\Delta \right)$ sur l’intervalle $]0,1]$.

8. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l’intervalle $]0,+\infty [$ et que $\frac{1}{e}<\alpha <1$.

9. Tracer la droite $\left(\Delta \right)$ et la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.