Mathématiques : 2 Bac SPC-SVT-STE-STM

Séance 7 (Fonctions primitives)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

I- Primitives d’une fonction numérique

1-1/ Définition

1-2/ Propriété 1

1-3/ Propriété 2

1-4/ Propriété 3

II- Fonctions primitives de la somme de deux fonctions

III- Produit d’une fonction par un réel α

IV- Opérations sur les fonctions primitives

V- Fonctions primitives des fonctions usuelles

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

6-5/ Exercice 5

6-6/ Exercice 6

 


I- Primitives d’une fonction numérique

 

1-1/ Définition

Une fonction F est une primitive d’une fonction f définie sur un intervalle I si :

xI : F'(x)=f(x)

Exemple

 

 

 

1-2/ Propriété 1

Toute fonction continue sur un intervalle I admet une fonction primitive sur I.

 

 

1-3/ Propriété 2

F est une primitive d’une fonction f définie sur un intervalle I.

Toute fonction primitive G de f sur I est de la forme Gx=Fx+c ; c.

Exemple

 

 

 

1-4/ Propriété 3

F est une primitive d’une fonction f définie sur un intervalle I.

Toute fonction primitive G de f sur I est de la forme Gx=Fx+c ; c.

x0I et y0 ; il existe une seule fonction primitive G de f qui vérifie la condition Gx0=y0.

Exemple

 

 

II- Fonctions primitives de la somme de deux fonctions

 

Propriété

F et G sont les primitives respectivement de f et g sur I.

On a F+G est une primitive de f+g.

Exemple

 

 

III- Produit d’une fonction par un réel α

 

Propriété

F est la primitive de f sur I et α.

On a αF est une primitive de αf.

Exemple

 

 

IV- Opérations sur les fonctions primitives

 

 

V- Fonctions primitives des fonctions usuelles

 

 

VI- Exercices

 

6-1/ Exercice 1

  1. Déterminer les fonctions primitives de chacune des fonctions suivantes :
1 fx=8x7-12x4-14x3-6x+52 fx=-4x5+2x2+33 fx=11x+154 fx=20x-65x2-3x+285 fx=12x+5 6 fx=x84x9+17 fx=xx2-18 fx=x539 fx=5x-73

 

 

6-2/ Exercice 2

  1. Déterminer la fonctions primitive g de la fonction f tel que g prend la valeur y0 par g en x0, pour chaque cas suivant :

1 y0=0  ;  x0=1  ;  fx=x3-6x2+12 y0=1  ;  x0=0  ;  fx=x+13

 

 

6-3/ Exercice 3

  1. Déterminer l’ensemble des primitives de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I :

1 fx=x3-2x2+3x-5  ;  I=2 fx=3x2  ;  I=[1,+[3 fx=2x  ;  I=[1,+[4 fx=1x2  ;  I=]0,+[5 fx=3x2x3-1  ;  I=6 fx=2xx2-33  ;  I=[4,+[7 fx=xx2+1  ;  I=

 

 

6-4/ Exercice 4

Soit f:xx3-3x2+7x-22 définie sur I=[3,+[.

  1. Déterminer ab et c de façon que fx=ax+b+cx-22.
  1. Calculer les primitives de f sur I=[3,+[.
  1. En déduire la primitive F de f sachant que F3=112.

 

 

6-5/ Exercice 5

Soit la fonction f définie sur ]0;+[ par : fx=2x2+x+1+1x2

  1. Déterminer les fonctions primitives de la fonction f sur ]0;+[.
  1. Déterminer la fonction primitive de la fonction f sur ]0;+[ tel que F1=3.

 

 

6-6/ Exercice 6

Soit la fonction f définie sur  par : fx=5x4+40x2+20x+80x2+42.

  1. Déterminer les réels ab et c tels que : x: fx=ax+bx2+42+c.
  1. Déterminer la fonctions primitives F de la fonction f sur  tel que : F0=c.