Séance 5 - Multiplication et division des nombres rationnels

Sommaire

I- Multiplication des nombres rationnels

1-1/ Règle

1-2/ Remarques

1-3/ Propriété

II- Division des nombres rationnels

2-1/ Inverse d’un nombre rationnel

2-2/ Quotient de nombres rationnels

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

I- Multiplication des nombres rationnels

1-1/ Règle

Pour multiplier des nombres rationnels, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Pour tous nombres a, b, c et d où b et d non nuls on a :

$\overline{)\mathrm{ }\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{\times }\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{a}\mathrm{\times }\mathrm{c}}{\mathrm{b}\mathrm{\times }\mathrm{d}}\mathrm{ }}$

Exemple

I- Multiplication des nombres rationnels

1-2/ Remarques

Si b =1, la formule devient : $a\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{d}$

$\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b} ; \frac{a}{b}\times 1=\frac{a}{b} ; \frac{a}{b}\times 0=0$

Quand c’est possible, il est préférable de simplifier avant d'effectuer les multiplications.

Exemple

I- Multiplication des nombres rationnels

1-3/ Propriété

Exemple

II- Division des nombres rationnels

2-1/ Inverse d’un nombre rationnel

Règle

Exemple

II- Division des nombres rationnels

2-1/ Inverse d’un nombre rationnel

Propriété

Exemple

II- Division des nombres rationnels

2-2/ Quotient de nombres rationnels

Diviser par un nombre rationnel non nul, revient à multiplier par son inverse.

Pour tous nombres a, b, c et d où b et d non nuls on a :

Exemple

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

Calculer et réduire si c’est possible :

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

Calculer et réduire si c’est possible :

$$\begin{gathered} \frac{1}{-3}\times \frac{2}{9}\times \left(-\frac{4}{3}\right)= \\ \frac{18}{5}\times \left(-\frac{35}{9}\right)\times \frac{1}{14}= \\ \frac{1}{4}\times \frac{3}{2}\times \frac{7}{5}= \\ -1,6\times \left(-\frac{20}{8}\right)\times \frac{1}{2}= \\ \frac{15}{7}\times \frac{-14}{-18}\times \frac{6}{-25}= \\ \frac{-5}{4}\times \frac{1}{-9}\times \frac{7}{2}= \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{1}{6}}}{-{\displaystyle \frac{1}{5}}}= \\ \frac{-{\displaystyle \frac{4}{9}}}{-14}= \\ \frac{{\displaystyle \frac{-5}{8}}}{{\displaystyle \frac{12}{-6}}}= \\ \frac{-4}{{\displaystyle \frac{11}{12}}}= \end{gathered}$$

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

Trouver la valeur de $x$ dans les cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\frac{\mathrm{-}\mathrm{17}}{\mathrm{9}}\mathrm{\times }\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } \\ \frac{\mathrm{x}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{-}\mathrm{6}}{\mathrm{4}}}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{7}}{\mathrm{3}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } \\ \frac{\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{x}}{\mathrm{5}}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{,}\mathrm{5}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } \\ \mathrm{x}\mathrm{\times }\frac{\mathrm{-}\mathrm{5}}{\mathrm{-}\mathrm{16}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } \\ \mathrm{2}\mathrm{x}\mathrm{=}\frac{\mathrm{-}\mathrm{12}}{\mathrm{7}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{;}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

On considère $x$ et $y$ deux nombres rationnels tel que : $\frac{2}{-3}x=-\frac{8}{4}$ et $\frac{-10}{4}y=5$

Prouver que : $\overline{)\mathrm{x}\mathrm{\times }\mathrm{y}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{6}}$ et $\overline{)\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}$

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

Compléter les égalités suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \frac{2}{3}÷\frac{4}{\_\_\_}=\frac{4}{\_\_\_} \\ \overline{)2} \frac{1}{-2}÷\frac{-7}{\_\_\_}=\frac{4}{7} \\ \overline{)3} \frac{24}{\_\_\_}÷\frac{-9}{\_\_\_}=\frac{-8}{15} \\ \overline{)4} \frac{{\displaystyle \frac{3}{-8}}}{{\displaystyle \frac{4}{\_\_\_}}}=\frac{9}{\_\_\_} \end{gathered}$$

III- Exercices

3-6/ Exercice 6

Calculer $a\times b$ et $a÷b$ dans les cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} a=\frac{-4}{3} et b=\frac{-16}{48} \\ \overline{)2} a=\frac{-21}{60} et b=\frac{30}{-28} \\ \overline{)3} a=\frac{30}{84} et b=\frac{-42}{-35} \\ \overline{)4} a=2,4 et b=\frac{-48}{10} \end{gathered}$$