Math 3AC - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 1

Exercice 1 (4 pts)

1. Développer et simplifier les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{A}\mathrm{=}\mathrm{5}\mathrm{x}(2x+3)\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{B}\mathrm{=}{(\sqrt{5}-3)}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{=}(2\sqrt{7}+3\sqrt{3})(2\sqrt{7}-3\sqrt{3})\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

2. Factoriser les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{D}\mathrm{=}\mathrm{5}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{16}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{E}\mathrm{=}\mathrm{3}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\mathrm{x}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{F}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{5}\mathrm{x}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{+}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{+}\mathrm{5}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{G}\mathrm{=}\mathrm{36}{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}\mathrm{27}{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}}\mathrm{+}\mathrm{18}\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

Exercice 2 (4 pts)

1. Simplifier l’expression :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{A}\mathrm{=}\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{3}}\mathrm{\times }{\left(a^{-2}\right)}^{\mathrm{5}}}{{\left(a^4\right)}^{\mathrm{-}\mathrm{3}}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

2. Trouver l’écriture scientifique des nombres suivants :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{B}\mathrm{=}\mathrm{15000000}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{0000712}\mathrm{\times }{\mathrm{10}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{D}\mathrm{=}\mathrm{30}\mathrm{\times }{\mathrm{10}}^{\mathrm{4}}\mathrm{+}\mathrm{0}\mathrm{,}\mathrm{5}\mathrm{\times }{\mathrm{10}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

3. Déterminer la valeur du nombre entier naturel n tel que :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\frac{{\mathrm{8}}^{\mathrm{n}}\mathrm{\times }{\mathrm{32}}^{(n-1)}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{3}}}\mathrm{=}{\mathrm{4}}^{\mathrm{4}}\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

Exercice 3 (6 pts)

1. Calculer :   

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{A}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{32}}\mathrm{\times }\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{B}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{7}\mathrm{+}\sqrt{\mathrm{4}}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{=}{(2,5)}^{\mathrm{46}}\mathrm{\times }{\left({10}^{-7}\right)}^{\mathrm{6}}\mathrm{\times }{\mathrm{4}}^{\mathrm{48}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

2. Simplifier :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{D}\mathrm{=}\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{8}}\mathrm{+}\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{32}}\mathrm{-}\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{50}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{E}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{112}}\mathrm{+}\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{63}}\mathrm{-}\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

3. Résoudre les équations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{2}\mathrm{x}(3x-1)\mathrm{=}{(x-1)}^{\mathrm{2}} \\ \mathrm{ }\mathrm{2}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{3}\mathrm{=}\mathrm{0} \\ \mathrm{ }{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{9} \\ } \end{gathered}$$

4. Supprimer le radical au dénominateur :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{F}\mathrm{=}\frac{\mathrm{5}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{=} \\ \mathrm{ }\mathrm{G}\mathrm{=}\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{=} \\ \mathrm{ }\mathrm{H}\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{-}\sqrt{\mathrm{5}}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

Exercice 4 (6 pts)

1) Développer ${\left(\sqrt{2}-3\right)}^2$ et en déduire la simplification de l’expression $\sqrt{11-6\sqrt{2}}$.

2) Montrer que $\sqrt{7-\sqrt{13}}+\sqrt{7+\sqrt{13}}=\sqrt{26}$

3) Calculer :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{Y}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\mathrm{+}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{+}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{+}\sqrt{\mathrm{4}}}\mathrm{+}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{+}\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{99}}\mathrm{+}\sqrt{\mathrm{100}}}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$