Séance 1 - Développement et factorisation

Sommaire

I- Développement

1-1/ Définition

1-2/ Propriétés

II- Développer avec les identités remarquables

2-1/ Propriété 1 : Développer le carré d'une somme

2-2/ Propriété 2 : Développer le carré d'une différence

2-3/ Propriété 3 : Développer le produit d'une somme par une différence

III- Factorisation

3-1/ Définition

3-2/ Propriétés

IV- Factoriser avec les identités remarquables

4-1/ Propriété 1 : Factoriser pour obtenir le carré d'une somme

4-2/ Propriété 2 : Factoriser pour obtenir le carré d'une différence

4-3/ Propriété 3 : Factoriser pour obtenir le produit d'une somme par une différence

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

5-7/ Exercice 7

5-8/ Exercice 8

I- Développement

1-1/ Définition

Développer : c’est transformer un produit en une somme ou en une différence.

1-2/ Propriétés

Soient a ,b ,c ,d et k des nombres réels.

Exemples

II- Développer avec les identités remarquables

2-1/ Propriété 1 : Développer le carré d'une somme

Soient a et b deux nombres, on a alors:

$\overline{){(a+b)}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\left(a\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{a}\mathrm{\times }\mathrm{b}\mathrm{+}{\left(b\right)}^{\mathrm{2}}}$

2-2/ Propriété 2 : Développer le carré d'une différence

Soient a et b deux nombres, on a alors:

$\overline{){\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{-}\mathrm{b}\mathrm{)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{\left(}\mathrm{a}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{a}\mathrm{\times }\mathrm{b}\mathrm{+}{\mathrm{\left(}\mathrm{b}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}}$

2-3/ Propriété 3 : Développer le produit d'une somme par une différence

Soient a et b deux nombres, on a alors:

$\overline{)\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{+}\mathrm{b}\mathrm{)}\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{-}\mathrm{b}\mathrm{)}\mathrm{=}{\mathrm{\left(}\mathrm{a}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{\left(}\mathrm{b}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}}$

Exemples

III- Factorisation

3-1/ Définition

Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit.

3-2/ Propriétés

a, b et k désignent des nombres réels :

Remarque importante

Pour factoriser une expression algébrique on cherche le facteur commun.

Exemples

IV- Factoriser avec les identités remarquables

4-1/ Propriété 1 : Factoriser pour obtenir le carré d'une somme

Soient A et B deux expressions (littérales ou non), on a alors :

$\overline{){\mathrm{\left(}\mathrm{A}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{A}\mathrm{\times }\mathrm{B}\mathrm{+}{\mathrm{\left(}\mathrm{B}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{)}}^{\mathrm{2}}}$

4-2/ Propriété 2 : Factoriser pour obtenir le carré d'une différence

Soient A et B deux expressions (littérales ou non), on a alors :

$\overline{){\mathrm{\left(}\mathrm{A}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{2}\mathrm{\times }\mathrm{A}\mathrm{\times }\mathrm{B}\mathrm{+}{\mathrm{\left(}\mathrm{B}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{-}\mathrm{B}\mathrm{)}}^{\mathrm{2}}}$

4-3/ Propriété 3 : Factoriser pour obtenir le produit d'une somme par une différence

Soient A et B deux expressions (littérales ou non), on a alors :

$\overline{){\mathrm{\left(}\mathrm{A}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{\left(}\mathrm{B}\mathrm{\right)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{)}\mathrm{\times }\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{-}\mathrm{B}\mathrm{)}}$

Exemples

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

Développer et réduire les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{A}\mathrm{=}\mathrm{3}(2x-1)\mathrm{-}\mathrm{4}(2-3x)\mathrm{+}\mathrm{2}(x+1)\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{B}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}(3x+6)\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}(25x-5)\mathrm{-}\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{C}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}(x^3-x^2)\mathrm{-}\mathrm{3}(x^5+x^4)\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{D}\mathrm{=}(x-1)(x^2+x-2)\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ \mathrm{ }\mathrm{E}\mathrm{=}{(x+2)}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}{(x-3)}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}(x-1)(x+1)\mathrm{=}\mathrm{ }\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

Factoriser les expressions suivantes :

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

On considère : $E={\left(2x+3\right)}^2-{\left(5-x\right)}^2$

1. Développer et réduire E
2. Factoriser E
3. Calculer E pour x=2
4. Résoudre l’équation $3x^2+22x-16=0$

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

$x$ est un nombre réel.

$a$, $b$ et $c$ sont des expressions algébrique tel que :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{=}\mathrm{25}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{49}\mathrm{+}(5x+7)(-2x+1) \\ \mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{=}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{4}\mathrm{x}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{-}(x-2)(7x+3) \\ } \end{gathered}$$

1. Développer et réduire les expressions $a$ et $b$

2. Factoriser $a$ et $b$

On pose $c=b-a$

3. Factoriser $c$

4. Résoudre l’équation $c=0$

V- Exercices

5-5/ Exercice 5

Soit $a$ un nombre entier naturel non nul.

Écris l’expression $2a^2+2$ sous la forme d’une somme des carrés de deux nombres entiers naturels.

V- Exercices

5-6/ Exercice 6

$a$ et $b$ sont deux nombres réels tel que :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{+}\mathrm{b}\mathrm{=}\mathrm{1} \\ \mathrm{ }{\mathrm{a}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{b}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{ } \\ } \end{gathered}$$

1. Calculer : ${\mathrm{a}}^{\mathrm{4}}\mathrm{+}{\mathrm{b}}^{\mathrm{4}}$

V- Exercices

5-7/ Exercice 7

On considère l'expression : $F=4x^2-9-\left(2x-3\right)\left(5x+2\right)$

1. Montrer que : $\left(2x-3\right)\left(5x+2\right)=10x^2-11x-6$

2. En déduire que : $F=-6x^2+11x-3$

3. Calculer $F$ pour $x=-2$ et pour $x=\frac{3}{2}$.

4. Montrer que : $4x^2-9=\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)$

5. En déduire que : $F=\left(2x-3\right)\left(-3x+1\right)$

V- Exercices

5-8/ Exercice 8

Soit l'expression $S=1+x+x^2+x^3+x^4$ avec $x\ne 1$.

1. Montrer que : $\left(1-x\right)\left(1+x+x^2+x^3+x^4\right)=1-x^5$

2. En déduire que : $S=\frac{x^5-1}{x-1}$

3. Déterminer la valeur de $E=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$.