Séance 2-2-1 : Suites numériques - Partie 2 (Cours)

Sommaire

III- Limite d’une suite numérique

3-1/ Suite de limite infinie

3-2/ Limite infinie des suites usuelles

3-3/ Convergence d'une suite numérique

3-4/ Convergence des suites usuelles

3-5/ Unicité de la limite

3-6/ Opérations sur les limites

3-7/ Extension des opérations sur la limite de suite

3-8/ Limites et ordre

3-9/ Monotonie et convergence

IV- Critères de convergence

4-1/ Existence de la limite par encadrement

4-2/ Limite d'une suite géométrique

III- Limite d’une suite numérique

3-1/ Suite de limite infinie

Définition 5

On dit que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ a pour limite $+\infty$ si tout intervalle de type $]A;+\infty [$, où $A>0$, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, ce qui revient à dire que :

$\left(\forall A>0\right)\left(\exists N\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\left(\forall n\ge N\right) u_n\in ]A;+\infty [$

On dit alors que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ diverge vers $+\infty$, et on notera :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty ou lim\left(u_n\right)=+\infty$

On dit que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ a pour limite $-\infty$ si tout intervalle de type $]-\infty ;-A[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang ; ce qui revient à dire que :

$\left(\forall A>0\right)\left(\exists N\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\left(\forall n\ge N\right) u_n\in ]-\infty ;-A[$

On dit alors que la suite${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$  diverge vers $-\infty$, et on notera :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty ou lim\left(u_n\right)=-\infty$

III- Limite d’une suite numérique

3-1/ Suite de limite infinie

Remarques

Si $k\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$, alors on a l'implication :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty \Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\lim }k{u}_n=+\infty$

On a les équivalences suivantes :

$$\begin{gathered} \underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty \iff \underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-u_n\right)=-\infty \\ \underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty \iff \underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-u_n\right)=+\infty \end{gathered}$$

III- Limite d’une suite numérique

3-2/ Limite infinie des suites usuelles

Proposition 1

Les suites ${\left(\sqrt{n}\right)}_n$, ${\left(n\right)}_n$, ${\left(n^2\right)}_n$ et ${\left(n^3\right)}_n$ tendent vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

III- Limite d’une suite numérique

3-2/ Limite infinie des suites usuelles

Proposition 2

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ et ${\left(v_n\right)}_{n\ge n_0}$ deux suites numériques telles que pour tout $n\ge n_0$ : $u_n\le v_n$

Si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=+\infty$.

Si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=-\infty$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$.

III- Limite d’une suite numérique

3-2/ Limite infinie des suites usuelles

Proposition 3

Soit $a$ un réel quelconque.

Si $a>1$ alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}^n=+\infty$.

Si $p\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^p=+\infty$.

III- Limite d’une suite numérique

3-2/ Limite infinie des suites usuelles

AppIications

Déterminer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2017}{2016}\right)}^n \\ \overline{)2} \underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)}^n \\ \overline{)3} \underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^{2017} \\ \overline{)4} \underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^3+2^n\right) \\ \overline{)5} \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{5^n+2^n}{3^n} \end{gathered}$$

III- Limite d’une suite numérique

3-3/ Convergence d'une suite numérique

Définition 6

Étant donné une suite numérique ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ et $\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ}$, on dit que ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ tend vers $\mathcal{l}$, ou encore converge vers $\mathcal{l}$, si tout intervalle ouvert centré en $\mathcal{l}$ contient tous les termes de la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ à partir d’un certain rang.

En d’autres termes :

$\left(\forall \epsilon >0\right)\left(\exists N\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\left(\forall n\ge N\right) ; \left|u_n-\mathcal{l}\right|<\epsilon$

Et on écrit :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\mathcal{l} ou lim\left(u_n\right)=\mathcal{l}$

III- Limite d’une suite numérique

3-3/ Convergence d'une suite numérique

Définition 7

On dit qu’une suite numérique est convergente si elle admet une limite réelle.

Dans le cas contraire, on dit qu’elle est divergente.

III- Limite d’une suite numérique

3-3/ Convergence d'une suite numérique

Remarque

Dire qu'une suite diverge (ou qu'elle est divergente), ne signifie pas qu'elle tend vers l'infini.

Cela signifie exactement que la suite n'a pas de limite ou qu'elle tend vers l'infini.

III- Limite d’une suite numérique

3-3/ Convergence d'une suite numérique

AppIications

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\ge 1}$ la suite numérique définie par $u_n=\frac{1}{n^2}$.

1. Montrer en utilisant la définition que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.

On considère les deux suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies par $v_n=\frac{7n-2}{3n+4}$ et $w_n=\frac{2n^2-\sin n}{n^2+3}$.

2. Montrer en utilisation la définition que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=\frac{7}{3}$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{w}_n=2$.

III- Limite d’une suite numérique

3-4/ Convergence des suites usuelles

Proposition 4

Les suites ${\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}_{n\ge 1}$, ${\left(\frac{1}{n}\right)}_{n\ge 1}$ et ${\left(\frac{1}{n^2}\right)}_{n\ge 1}$ tendent vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

III- Limite d’une suite numérique

3-5/ Unicité de la limite

Proposition 5

La limite d’une suite numérique, lorsqu’elle existe, est unique.

III- Limite d’une suite numérique

3-5/ Unicité de la limite

Proposition 6

Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse.

III- Limite d’une suite numérique

3-6/ Opérations sur les limites

Proposition 7

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ et ${\left(v_n\right)}_{n\ge n_0}$ deux suites numériques convergentes. Alors :

La suite ${\left(u_n+v_n\right)}_{n\ge n_0}$ est convergente, et de plus : $lim\left(u_n+v_n\right)=lim\left(u_n\right)+lim\left(v_n\right)$.

La suite ${\left(u_n.v_n\right)}_{n\ge n_0}$ est convergente, et de plus : $lim\left(u_n.v_n\right)=lim\left(u_n\right)\times lim\left(v_n\right)$.

Si $lim\left(v_n\right)\ne 0$, alors la suite ${\left(\frac{u_n}{v_n}\right)}_{n\ge n_0}$ est convergente, et de plus : $lim\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{lim\left(u_n\right)}{lim\left(v_n\right)}$.

III- Limite d’une suite numérique

3-6/ Opérations sur les limites

Applications

Calculer la limite de chacune des suites suivantes définies par :

$$\begin{gathered} \overline{)1} u_n=\frac{2\sqrt{n}-7}{7\sqrt{n}+3} \\ \overline{)2} v_n=\frac{n^2-3n+4}{n^2+5n+7} \\ \overline{)3} w_n=\frac{2n-3}{n^3+3n^2+1} \\ \overline{)4} x_n=\frac{\left(n+4\right)\left(-3n^2+1\right)}{5n^3+8n} \end{gathered}$$

III- Limite d’une suite numérique

3-7/ Extension des opérations sur la limite de suite

On admet que les résultats sur les limites des fonctions restent valables pour les limites des suites :

• Limite d’une somme :

• Limite d'un produit :

• Limite d’une inverse :

III- Limite d’une suite numérique

3-8/ Limites et ordre

Proposition 8

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ et ${\left(v_n\right)}_{n\ge n_0}$ deux suites convergentes. Alors :

Si la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est positive, alors $lim u_n\ge 0$.

Si $u_n\le v_n$ pour tout entier $n\ge n_0$, alors $lim u_n\le lim v_n$.

III- Limite d’une suite numérique

3-8/ Limites et ordre

Remarque

Si ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est une suite convergente dont on souhaite montrer que sa limite est strictement positive, alors il suffit de chercher un réel $m>0$ tel que $u_n\ge m$ à partir d'un certain rang.

III- Limite d’une suite numérique

3-9/ Monotonie et convergence

Théorème 1

Toute suite croissante majorée est convergente.

Toute suite décroissante minorée est convergente.

Ce résultat porte le nom de «Théorème de la convergence monotone».

III- Limite d’une suite numérique

3-9/ Monotonie et convergence

Remarque

Le théorème  de la convergence monotone assure la convergence de la suite mais ne détermine pas sa limite.

III- Limite d’une suite numérique

3-9/ Monotonie et convergence

Applications

1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=3$ et pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ : $u_{n+1}=3-\frac{9}{4u_n}$, est décroissante et minorée par $\frac{3}{2}$.

2. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?

Soit ${\left(v_n\right)}_{n\ge 1}$ la suite numérique définie par : $v_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$

3. Montrer que pour tout entier $k\ge 2$ : $k!\ge 2^{k-1}$. En déduire que la suite ${\left(v_n\right)}_{n\ge 1}$ est majorée.

4. Montrer que la suite ${\left(v_n\right)}_{n\ge 1}$ est croissante puis en déduire qu'elle est convergente.

III- Limite d’une suite numérique

3-9/ Monotonie et convergence

Proposition 9

Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

Toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

IV- Critères de convergence

4-1/ Existence de la limite par encadrement

Théorème 2

Soit ${\left(v_n\right)}_{n\ge n_0}$ et ${\left(w_n\right)}_{n\ge n_0}$ deux suites numériques convergeant vers une limite commune $\mathcal{l}$.

Si ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ est une suite vérifiant l'encadrement $v_n\le u_n\le w_n$ à partir d'un certain rang, alors la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ converge et sa limite vaut $\mathcal{l}$.

Ce résultat est appelé «Théorème des gendarmes»

IV- Critères de convergence

4-1/ Existence de la limite par encadrement

Applications

Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par : $u_n=\frac{\sqrt{n}\sin \left(n\right)}{n+1}$

1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

2. Calculer les limites des suites ${\left(v_n\right)}_{n\ge 1}$ et ${\left(w_n\right)}_{n\ge 1}$ définies par : $v_n=\sum _{k=1}^{2n+1}\frac{1}{n^2+k}$ et $w_n=\sum _{k=1}^{3n+1}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+k}}$.

IV- Critères de convergence

4-1/ Existence de la limite par encadrement

Corollaire

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ une suite numérique et $\mathcal{l}$ un nombre réel.

S'il existe une suite ${\left(v_n\right)}_{n\ge n_0}$ tendant vers $0$ telle que pour tout $n\ge n_0$, $\left|u_n-\mathcal{l}\right|\le v_n$, alors la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge n_0}$ converge et sa limite vaut $\mathcal{l}$.

IV- Critères de convergence

4-1/ Existence de la limite par encadrement

Proposition 10

Soit $r$ un nombre rationnel non nul.

Si $r>0$ alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^r=+\infty$.

Si $r<0$ alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^r=0$.

IV- Critères de convergence

4-2/ Limite d'une suite géométrique

Soit $q$ un nombre réel non nul.

• Si $q>1$ alors $\lim q^n=+\infty$.
• Si $-1<q<1$ alors $\lim q^n=0$.
• Si $q=1$ alors $\lim q^n=1$.
• Si $q<-1$ alors la suite ${\left(q^n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ n’admet pas de limite.