Séance 1-3-1 : Limites et continuité - Partie 3 (Cours)

Sommaire

VI- Fonction réciproque d'une monotone continue et strictement monotone

6-1/ Théorème de la fonction réciproque

6-2/ Propriétés de la fonction réciproque

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-1/ Fonction arctangente

7-2/ Fonction racine $n^{ième}$

7-3/ Puissance rationnelle d'un nombre strictement positif

VI- Fonction réciproque d'une monotone continue et strictement monotone

6-1/ Théorème de la fonction réciproque

Proposition 11

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors elle réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f\left(I\right)$.

Preuve

VI- Fonction réciproque d'une monotone continue et strictement monotone

6-1/ Théorème de la fonction réciproque

Applications

Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer une expression de $f^{-1}\left(x\right)$ pour $x\in J$ :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=x^2-2x+5 ; I=[1;+\infty [ \\ \overline{)2} f\left(x\right)=4x-x^2 ; I=]-\infty ;2[ \\ \overline{)3} f\left(x\right)=\sqrt{x^2-x}-x ; I=]-\infty ;0] \\ \overline{)4} f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+2} ; I=\left[0;\sqrt{2}\right] \end{gathered}$$

VI- Fonction réciproque d'une monotone continue et strictement monotone

6-2/ Propriétés de la fonction réciproque

Proposition 12

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ alors :

• La fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur $f\left(I\right)$ et a le même sens de variation que la fonction $f$.
• Les courbes représentatives de $f$ et de $f^{-1}$, dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la première bissectrice (c'est-à-dire par rapport à la droite d'équation $y=x$).

Preuve

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-1/ Fonction arctangente

Définition 6

La fonction $x\mapsto \tan x$ est une  bijection de $]-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}[$ sur $\mathrm{ℝ}$.

Sa fonction réciproque est appelée fonction Arctangente, et la note Acrtan

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-1/ Fonction arctangente

Proposition 13

La fonction Arctan est définie sur $\mathrm{ℝ}$ et à valeurs dans $]-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}[$. On a de plus :

$\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall y\in ]-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}[\right) \left(Arc\tan x=y\iff x=\tan y\right)$

Pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ : $\tan \left(Arc\tan x\right)=x$

Pour tout $x\in ]-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}[$ : $Arc\tan \left(\tan x\right)=x$

La fonction Arctan est continue et strictement croissante sur $\mathrm{ℝ}$. On a pour tout $(x_1,x_2)\in {\mathrm{ℝ}}^2$  :

$\left(Arc\tan x_1=Arc \tan x_2 \iff x_1=x_2\right)$ et $\left(Arc\tan x_1<Arc \tan x_2 \iff x_1<x_2\right)$

La fonction $x\mapsto Arc\tan x$ est impaire :

$\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) Arc\tan \left(-x\right)=-Arc\tan \left(x\right)$

On a les limites suivantes :

$\underset{x\to +\infty }{\lim }Arc\tan x=\frac{\mathrm{\pi }}{2} ; \underset{x\to -\infty }{\lim }Arc\tan x=-\frac{\mathrm{\pi }}{2} ; \underset{x\to 0}{\lim }\frac{Arc\tan x}{x}=1$

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-1/ Fonction arctangente

Tableau de quelques valeurs importantes

La courbe représentative de la fonction Arctan

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-2/ Fonction racine $n^{ième}$

Définition 7

Soit $n$ un entier naturel non nul.

La fonction $x\mapsto x^n$ réalise une bijection de ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ sur ${\mathrm{ℝ}}^{+}$. Sa fonction réciproque est appelée la fonction racine $n^{ième}$, et on la note $\sqrt[n]{}$.

Pour tout $x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$, $\sqrt[n]{x}$ se lit «racine $n^{ième}$ de $x$».

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-2/ Fonction racine $n^{ième}$

Proposition 14

Soit $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.

On a alors pour tous $x$ et $y$ de ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ :

$\sqrt[n]{x}=y\iff y^n=x ; \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{y}\iff x=y ; \sqrt[n]{x}<\sqrt[n]{y}\iff x<y$

On a alors pour tout $x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$ : $\sqrt[n]{x^n}={\left(\sqrt[n]{x}\right)}^n=x$

La fonction $x\mapsto \sqrt[n]{x}$ est continue sur ${\mathrm{ℝ}}^{+}$, et de plus : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{x}=+\infty$

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-2/ Fonction racine $n^{ième}$

Remarque

Soit $a$ un  réel non nul et $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*-\left\{1\right\}$.

L'ensemble des solutions de l'équation $x^n=a$ dépend de signe du nombre $a$ et de la parité de l'entier $n$.

Le tableau suivant résume les cas possibles :

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-2/ Fonction racine $n^{ième}$

Proposition 15

Soit $a$ et $b$ deux réels, et $p$ et $n$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2.

On a alors les propriétés suivantes :

$$\begin{gathered} \sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} \\ \sqrt[n]{\frac{1}{a}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a}} \left(a\ne 0\right) \\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \left(b\ne 0\right) \\ \sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a} \\ \sqrt[n]{\sqrt[p]{a}}=\sqrt[np]{a} \\ {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^p=\sqrt[n]{a^p} \end{gathered}$$

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-2/ Fonction racine $n^{ième}$

Proposition 16

Soit $u$ une fonction positive sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0\in I$.

Si $u$ est continue sur $I$ alors la fonction $\sqrt[n]{u}$ est continue sur $I$.

Si $\underset{x\to x_0}{\lim }u\left(x\right)=\mathcal{l}$ alors $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt[n]{u\left(x\right)}=\mathcal{l}$

Si $\underset{x\to x_0}{\lim }u\left(x\right)=+\infty$ alors $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt[n]{u\left(x\right)}=+\infty$

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-3/ Puissance rationnelle d'un nombre strictement positif

Définition 8

Soit $a$ un réel strictement positif et $r$ un nombre rationnel.

On pose $r=\frac{p}{q}$ avec $p\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ et $q\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.

Le nombre $a^r$ est le nombre $\sqrt[q]{a^p}$. Ce nombre est appelé la puissance rationnelle du nombre $a$ d'exposant $r$.

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-3/ Puissance rationnelle d'un nombre strictement positif

Remarque

Soit $a$ un réel strictement positif et $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*-\left\{1\right\}$.

On a : $\sqrt{a}=\sqrt[2]{a}=a^{\frac{1}{2}}$ et $\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$.

De façon générale, on a l'égalité : $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$.

VII- Fonctions réciproques usuelles

7-3/ Puissance rationnelle d'un nombre strictement positif

Proposition 17

Soit $r$ et $r\text{'}$ deux nombres rationnels, et $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.

Alors on a les égalités suivantes :

$$\begin{gathered} a^r\times a^{r\text{'}}=a^{r+r\text{'}} ; {\left(ab\right)}^r=a^r\times b^r \\ {\left(a^r\right)}^{r\text{'}}=a^{r.r\text{'}} ; a^{-r}=\frac{1}{a^r} \\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^r =\frac{a^r}{b^r} ; \frac{a^r}{a^{r\text{'}}}=a^{r-r\text{'}} \end{gathered}$$