الحصة 6-1 : نهاية دالة عددية (الدرس)

الفهرس

I- نهايات مرجعية

II- نهايات الدوال الاعتيادية

III- الأشكال غير المحددة

IV- العمليات على النهايات

1-4/ النهايات والجمع

2-4/ النهايات والمقلوب

3-4/ النهايات والضرب

4-4/ النهايات والخارج

I- نهايات مرجعية

$$\begin{gathered} \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \underset{x\to 0}{\lim }{x}^n=0 \\ \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n=+\infty \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n=\left\{\begin{array}{l}+\infty \left(n يجوز\right)\\ -\infty \left(n يدرف\right)\end{array}\right. \\ \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0 \\ \left(n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty ; \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty \end{gathered}$$

مثال

II- نهايات الدوال الاعتيادية

لتكن $p$ و $q$ حدوديتين

$b{x}^n$ الحدية الأكبر درجة ل $p\left(x\right)$

$c{x}^m$ الحدية الأكبر درجة ل $q\left(x\right)$

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }p\left(x\right)=p\left(a\right) \\ \underset{x\to a}{\lim }\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\frac{p\left(a\right)}{q\left(a\right)} \left(q\left(a\right)\ne 0\right) \\ \underset{x\to a}{\lim }\sqrt{p\left(x\right)}=\sqrt{p\left(a\right)} \left(p\left(a\right)\ge 0\right) \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }p\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }b{x}^n \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{b{x}^n}{c{x}^m} \end{gathered}$$

مثال

III- الأشكال غير المحددة

$+\infty -\infty ; 0\times +\infty ; \frac{\infty }{\infty } ; \frac{0}{0}$

مثال

IV- العمليات على النهايات

1-4/ النهايات والجمع

مثال

IV- العمليات على النهايات

2-4/ النهايات والمقلوب

مثال

IV- العمليات على النهايات

3-4/ النهايات والضرب

مثال

IV- العمليات على النهايات

4-4/ النهايات والخارج

مثال