الامتحان الوطني الموحد 2015 الدورة الإستدراكية: الموضوع والتصحيح

1
التمرين 1
الكيمياء

تتواصل بعض الحشرات، كالنمل والنحل فيما بينها بواسطة مواد كيميائية عضوية تسمى الفيرمونات قصد الدفاع عن النفس أو التناسل...

يهدف التمرين في جزئه الأول الى دراسة تفاعل محلول حمض الإيثانويك مع محلول هيدروكسيد الصوديوم. وفي جزئه الثاني الى تصنيع فيرومون $(P)$ انطلاقا من حمض الإيثانويك

الجزآن الأول والثاني مستقلان)

المعطيات:

تمت جمیع القیاسات عند درجة الحرارة $25 ° C$

ثابتة الحمضیة لحمض الإیثانویك: $p K_{A} (C H_{3} C O O H / C H_{3} C O O^{-}) = 4, 8$

الكتلة المولیة لحمض الإیثانویك: $M (C H_{3} C O O H) = 60 g . m o l^{- 1}$

الكتلة الحجمیة لحمض الإیثانویك الخالص: $ρ = 1, 05 g . m L^{- 1}$

الكتلة المولیة للفیرومون $(P)$ هي $m (P) = 130 g . m o l^{- 1}$

الجزء الأول: دراسة تفاعل حمض الإيثانويك مع هيدروكسيد الصوديوم

لتحديد تركيز محلول حمض الإيثانويك, نعايره باستعمال محلول هيدروكسيد الصوديوم $N a_{(a q)}^{+} + H O_{(a q)}^{-}$ تركيزه $C_{b} = 1, 5 . 10^{- 2} m o l . L^{- 1}$

نأخذ الحجم $V_{a} = 10 m L$ من المحلول المائي $(S_{a})$ لحمض الإيثانويك ذي التركيز $C_{a}$ ونضيف إليه تدريجيا الحجم $V_{b}$ من المحلول المائي $(S_{b})$ لهيدروكسيد الصوديوم, ثم نقيس $p H$ الخليط التفاعلي

يمثل الشكل أسفله المنحنيين $p H = f (v_{b})$ و $\frac{d p H}{d v_{b}} = f (v_{b})$ لهذه المعايرة:

$1 - 1$ ارسم على ورقة التحرير تبيانة التركيب التجريبي الذي يمكن من إنجاز المعايرة حمض-قاعدة بواسطة قياس $p H$ مبينا أسماء الأدوات المستعملة والمحلولين

$2 - 1$ اكتب المعادلة الكيميائية للتفاعل الحاصل أثناء المعايرة واذكر خاصيتيه

$3 - 1$ أوجد التركيز $C_{a}$ لحمض الإيثانويك

$4 - 1$ حدد, معللا جوابك, أي من النوعين $C H_{3} C O O H$ و $C H_{3} C O O^{-}$ يكون هو المهيمن في الخليط التفاعلي عند $p H = 7$

$5 - 1$ أوجد, مستعينا بمنحنى المعايرة, الحجم   $V_{b}$ الذي يجب إضافته للخليط التفاعلي لكي يكون الخارج $\frac{{[C H_{3} C O O H]}_{e q}}{{[C H_{3} C O O^{-}]}_{e q}} = 1$

الجزء الثاني: تصنيع الفيرومون $(P)$

يمكن تصنيع الفيرومون $(P)$ في المختبر بتفاعل حمض الإيثانويك $(A)$ والكحول $(B)$ ذي الصيغة $C_{5} H_{11} - O H$

$1 - 2$ اكتب معادلة التفاعل الحاصل بين $(A)$ و $(B)$

$2 - 2$ اذكر مميزتين لهذا التفاعل

$3 - 2$ نمزج الحجم $V_{A} = 28, 6 m L$ من الحمض $(A)$ الخالص مع الكمية   $n_{B} = 0, 50 m o l$ من الكحول $(B)$ ، ونضيف بعض قطرات حمض الكبريتيك, ثم نسخن الخليط التفاعلي بالارتداد لمدة أربع ساعات تقريبا

عند التوازن, وبعد القيام بمختلف العمليات المخبرية اللازمة, نحصل على الكتلة $m_{p} = 43, 40 g$ من الفيرومون $(P)$

$1 - 3 - 2$ ما الفائدة من التسخين بالارتداد ومن إضافة حمض الكبريتيك؟

$2 - 3 - 2$ حدد, مستعينا بالجدول الوصفي, كمية المادة لكل مكون من مكونات الخليط التفاعلي عند التوازن

$3 - 3 - 2$ احسب $r$ مردود التفاعل لتصنيع الفيرومون $(P)$

الكيمياء

الجزء الأول: دراسة تفاعل حمض الإيثانويك مع هيدروكسيد الصوديوم

$1 - 1$ تبيانة التركيب التجريبي لإنجاز المعايرة

(انظر الشكل $أ$ ):

$2 - 1$ معادلة التفاعل الحاصل أثناء المعايرة

$C H_{3} C O O H_{(a q)} + H O_{(a q)}^{-} \to C H_{3} C O O_{(a q)}^{-} + H_{2} O_{(l)}$

يتميز تفاعل المعايرة بكونه كلي وسريع

$3 - 1$ علاقة التكافؤ

$C_{a} . V_{a} = C_{b} . V_{b} \Rightarrow C_{a} = \frac{C_{b} . V_{b e}}{V_{a}}$

تطبيق عددي: نحدد حجم التكافؤ لمحلول هيدروكسيد الصوديوم مبيانيا نجد: $V_{b e} = 10 m L$

$C_{a} = \frac{1, 5 . 10^{- 2} \times 10}{10} \Rightarrow C_{a} = 1, 5 . 10^{- 2} m o l . L^{- 1}$

$4 - 1$ تحديد النوع المهيمن عند $p H = 7$

العلاقة بين $p H$ و $p K_{A}$ تكتب:

$p H = p K_{A} + \log \frac{{[C H_{3} C O O^{-}]}_{e q}}{{[C H_{3} C O O H]}_{e q}}$

بما أن $p H > p K_{A}$ فإن $\log \frac{{[C H_{3} C O O^{-}]}_{e q}}{{[C H_{3} C O O H]}_{e q}} > 0$ أي $\frac{{[C H_{3} C O O^{-}]}_{e q}}{{[C H_{3} C O O H]}_{e q}} > 1$

النوع المهيمن هو القاعدي $C H_{3} C O O^{-}$

ملحوظة:

يمكن استعمال العلاقة:

$\frac{{[C H_{3} C O O^{-}]}_{e q}}{{[C H_{3} C O O H]}_{e q}} = 10^{p H - p K_{A}} = 10^{7 - 4, 8} = 10^{2, 2} > 1$

وبالتالي النوع المهيمن هو النوع القاعدي $C H_{3} C O O^{-}$

$5 - 1$ التحدد المبياني للحجم $V_{b}$ لكي يكون: $\frac{{[C H_{3} C O O^{-}]}_{e q}}{{[C H_{3} C O O H]}_{e q}} = 1$

لدينا: $p H = p K_{A} + \log \frac{{[C H_{3} C O O^{-}]}_{e q}}{{[C H_{3} C O O H]}_{e q}}$

أي $p H = p K_{A} + \log 1$

ومنه: $p H = p K_{A} = 4, 8$

مبيانيا (انظر المبيان) عند   $p H = 4, 8$ نجد: $V_{b} = 5 m L$

الجزء الثاني: تصنيع الفيرومون

$1 - 2$ كتابة معادلة التفاعل الحاصل

$C H_{3} C O O H + C_{5} H_{11} - O H ⇄ C H_{3} C O O - C_{5} H_{11} + H_{2} O$

$2 - 2$ يتميز تفاعل الاسترة بكونه بطيء ومحدود

$3 - 2$

$1 - 3 - 2$ الفائدة من التتسخين بالارتداد هو تسريع التفاعل من جهة وتفادي ضياع الانواع الكيميائية (المتفاعلة والناتجة) من جهة أخرى

يلعب حمض الكبريتيك دور الحفاز

$2 - 3 - 2$ الجدول الوصفي لتقدم التفاعل

حساب كل من $n_{A}$ و $x_{e q}$ :

$n_{A} = \frac{m_{A}}{M (A)} = \frac{ρ . V_{A}}{M (A)} \Rightarrow n_{A} = \frac{1, 05 \times 28, 6}{60} 0, 50 m o l$

$x_{e q} = n (P) = \frac{m_{p}}{M (P)} \Rightarrow x_{e q} = \frac{43, 40}{130} = 0, 33 m o l$

تركيب الخليط عند التوازن: $n (P) = n (H_{2} O) = 0, 33 m o l$

$n (A) = n (B) = n_{A} - x_{e q} = 0, 50 - 0, 33 \Rightarrow n (A) = n (B) = 0, 17 m o l$

$3 - 3 - 2$ حساب مردود التفاعل $r = \frac{n_{e x p}}{n_{m a x}}$

$n_{e x p} = x_{e q} = 0, 33 m o l$ و $n_{m a x} = n_{A} = 0, 50 m o l$

$r = \frac{0, 33}{0, 50} = 0, 66 \Rightarrow r = 66 %$
2
التمرين 2
الموجات والفيزياء النووية

انقل على ورقة التحرير رقم السؤال واكتب بجانبه الجواب الصحيح من بين الأجوبة الأربعة المقترحة دون إضافة أي تعليل أو تفسير

الموجات

لتحديد سرعة انتشار موجة ميكانيكية طول حبل, طلب أستاذ الفيزياء من أحد التلاميذ إحداث تشوه عند طرف حبل أفقي, وفي نفس الوقت طلب من تلميذة أن تصور شريط فيديو لمظهر الحبل بواسطة كاميرا رقمية مضبوطة على التقاط $25$ صورة في الثانية

تم وضع مسطرة بيضاء $(R)$ طولها $1 m$ لضبط سلم قياس الطول

تكلف الأستاذ بمعالجة الشريط وباستخراج مختلف الصور للحبل مستعينا ببرنم معلوماتي مناسب, ثم اختار الصورتين رقم $8$ ورقم $12$ قصد الدراسة والاستثمار

$1$ المدة الزمنية $∆ t$ الفاصلة بين اللحظتين اللتين التقطت فيهما الصورتان رقم $8$ ورقم $12$ للموجة هي:

$∆ t = 0, 24 s$

$∆ t = 0, 20 s$

$∆ t = 0, 16 s$

$∆ t = 0, 12 s$

$2$ المسافة $d$ المقطوعة من طرف الموجة بين اللحظتين اللتين التقطت فيهما الصورتان $8$ و $12$ هي:

$d = 1, 50 m$

$d = 1, 00 m$

$d = 0, 50 m$

$d = 2 c m$

$3$ سرعة انتشار الموجة طول الحبل هي:

$v = 10, 50 m . s$

$v = 7, 30 m . s^{- 1}$

$v = 6, 25 m . s^{- 1}$

$v = 5, 10 m . s^{- 1}$

الفيزياء النووية

تتفتت نواة البولونيوم ${}_{84}^{210}{Po}$ الى نواة الرصاص ${}_{82}^{206}P b$

$4$ خلال هذا التحول النووي هناك انبعاث دقيقة, وهي عبارة عن:

دقيقة $a$

نوترون

إلكترون

بوزيترون

$5$ نعتبر عينة مشعة من البولونيوم $210$ , ذات عمر النصف $t_{1 / 2}$ , نشاطها الإشعاعي البدئي $a_{0}$ ونشاطها الإشعاعي عند لحظة   $t$ هو $a (t)$

عند اللحظة $t_{1} = 3 . t_{1 / 2}$ , تساوي النسبة   $\frac{a (t_{1})}{a_{0}}$ القيمة:

$\frac{1}{9}$

$\frac{1}{8}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{3}$

الموجات والفيزياء النووية

الموجات

$1$ المدة الزمنية $∆ t$ هي: $∆ t = 0, 16$

التعليل ليس مطلوبا

التردد هو: $N = 25 H z$ والدور $T$ يمثل المدة الزمنية الفاصلة بين التقاط صورتين متتاليين

$T = \frac{1}{N} = \frac{1}{25} = 0, 04 s$

المدة الفاصلة بين التقاط الصورتان رقم $8$ ورقم $12$ هي:

$∆ t = 4 T = 4 \times 0, 04 = 0, 16 s$

$2$ المسافة $d$ هي: $d = 1, 00 m$

التعليل:

باستعمال المبيان قطعت مقدمة الموجة المسافة $d$ التي تمثل طول المسطرة خلال المدة $∆ t$

$3$ سرعة انتشار الموجة: $v = 6, 25 m . s^{- 1}$

التعليل

$v = \frac{d}{∆ t} = \frac{1, 00}{0, 16} = 6, 25 m . s^{- 1}$

الفيزياء النووية

$4$ خلال التحول النووي تنبعث:   دقيقة $a$

التعليل

معادلة التفتت النووي:

${}_{84}^{210}p o \overset{a}{\to} {}_{82}^{206}p b + {}_{2}^{4}H e$

$5$ عند اللحظة $t_{1} = 3 t_{1 / 2}$ تساوي النسبة $\frac{a (t_{1})}{a_{0}}$ القيمة $\frac{1}{8}$

التعليل:

$a_{(t_{1})} = a_{0} e^{- \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}} . t_{1}} a_{(t_{1})} = a_{0} e^{- \frac{\ln 2}{t_{1 / 2}} . 3 t_{1 / 2}} a_{(t_{1})} = a_{0} e^{- 3 \ln 2} a_{(t_{1})} = a_{0} e^{\ln 2^{- 3}} a_{(t_{1})} = 2^{- 3} . a_{0} a_{(t_{1})} = \frac{a_{0}}{8} \Rightarrow \frac{a (t_{1})}{a_{0}} = \frac{1}{8}$
3
التمرين 3
الكهرباء

تعتبر الموصلات الأومية والمكثفات والوشيعات من المكونات الأساسية التي تدخل في تركيب كثير من الأجهزة الإلكترونية التي نستعملها في حياتنا اليومية

يهدف التمرين الى تحديد مميزتي وشيعة والى دراسة دارة كهربائية متذبذبة حرة لتحديد سعة مكثف

$1$ استجابة ثنائي القطب $R L$ لرتبة توتر صاعدة

يتكون التركيب الممثل في تبيانة الشكل $1$ من:

مولد كهربائي مؤمثل للتوتر قوته الكهرمحركة $E$

وشيعة معامل تحريضها $L$ ومقاومتها $r$

موصل أومي مقاومته $R = 90 Ω$

قاطع التيار $K$

عند $t = 0$ , تم غلق قاطع التيار $K$ وتتبع تطور التوترين $u_{R}$ بين مربطي الموصل الأومي و $u_{P N}$ بين مربطي المولد الكهربائي بدلالة الزمن

يمثل الشكل $2$ منحنيي التوترين $u_{R} (t)$ و $u_{P N} (t)$

$1 - 1$ انقل تبيانة الشكل $1$ على ورقة التحرير, ومثل عليها التوتر $u_{R}$ في الاصطلاح مستقبل

$2 - 1$ باستثمار وثيقة الشكل $2$ , أوجد:

$أ$ القوة الكهرمحركة $E$ للمولد

$ب$ قيمة ثابتة الزمن $τ$

$ج$ المقاومة $r$ للوشيعة

$3 - 1$ بين أن قيمة معامل التحريض للوشيعة هي: $L = 0, 2 H$

$2$ التذبذبات الكھربائیة الحرة في دارة   $R L C$ متوالیة

للحصول على تذبذبات كھربائیة حرة, نعوض في التركیب السابق (الشكل $1$ ) المولد الكھربائي بمكثف سعته $C$ مشحون بدئیا

بواسطة عدة معلوماتیة ملائمة, نتتبع تطور التوتر $u_{C}$ بین مربطي ھذا المكثف بدلالة الزمن, فنحصل على المنحنى الممثل في الشكل $3$

$1 - 2$ اُرسم تبیانة التركیب التجریبي وبين علیھا كیفیة ربط نظام المسك المعلوماتي لتتبع تطور $u_{C} (t)$

$2 - 2$ أثبت المعادلة التفاضلیة التي یحققھا التوتر $u_{C} (t)$

$3 - 2$ أوجد السعة $C$ للمكثف باعتبار شبه الدور يساوي الدور الخاص للمتذبذب الكهربائي

$4 - 2$ حدد الطاقة الكلية $C_{1}$ لدارة عند اللحظة $t_{1} = 36 m s$

$5 - 2$ علل, من منظور طاقي, نظام التذبذب الممثل في الشكل $3$

الكهرباء

$1$ استجابة ثنائي القطب $R L$ لرتبة توتر صاعدة

$1 - 1$ تمثيل التوتر $u_{R}$ في اصطلاح مستقبل (انظر الشكل $1$ )

$2 - 1$ إيجاد باستثمار وثيقة الشكل $2$ :

$أ$ القوة الكهرمحركة $E = u_{P N} = 10 V$

$ب$ ثابتة الزمن: $τ = 2 m s$

$ج$ مقاومة الوشيعة $τ$ :

في النظام الدائم:

التوتر بين الموصل الاومي: $u_{R} = R . I_{0} (1)$

قانون إضافية التوترات:   $E = R . I_{0} + r . I_{0} = (R + r) . I_{0} (2)$

$\frac{(2)}{(1)} \Rightarrow \frac{R + r}{R} = \frac{E}{u_{R}} \Rightarrow R + r = \frac{E}{u_{R}} . R \Rightarrow r = R . (\frac{E}{u_{R}} - 1) \Rightarrow r = 90 \times (\frac{10}{9} - 1) \Rightarrow r = 10 Ω$

$3 - 1$ إثبات قيمة معامل التحريض

لدينا: $τ = \frac{L}{R + r}$

ومنه: $L = τ . (R + r)$

ت.ع:

$L = (90 + 10) \times 2 . 10^{- 3} = 0, 2 H$

$2$ التذبذبات الكهربائية الحرة في دارة $R L C$ متوالية

$1 - 2$ رسم تبيانة التركيب التجريبي (انظر الشكل ب)

$2 - 2$ إثبات المعادلة التفاضلية التي يحققها التوتر $u_{c} (t)$

حسب قانون إضافية التوترات: $u_{L} + u_{R} + u_{C} = 0$

حسب قانون أوم: $L . \frac{d i}{d t} + r i + R i + u_{c} = 0$

$i = \frac{d q}{q t} = C . \frac{d u_{C}}{d t} \Rightarrow \frac{d i}{d t} = C \frac{d^{2} u_{C}}{d t^{2}}$

$L . C \frac{d^{2} u_{C}}{d t^{2}} + (R + r) . C . \frac{d u_{C}}{d t} + u_{C} = 0 \Rightarrow \frac{d^{2} u_{C}}{d t^{2}} + \frac{R + r}{L} . \frac{d u_{C}}{d t} + \frac{1}{L . C} . u_{C} = 0$

$3 - 2$ استنتاج قيمة $C$

لدينا حسب تعبير الدور الخاص:   $T_{0} = 2 π \sqrt{L . C}$

بما أن   $T_{0} \approx T$ فإن: $T = 2 π \sqrt{L . C}$

أي: $T^{2} = 4 π^{2} L . C$

وبالتالي: $C = \frac{T^{2}}{4 π^{2} L}$

باستعمال مبيان الشكل $3$ شبه الدور هو: $T = 18 m s$

ت.ع:

$C = \frac{{(18 . 10^{- 3})}^{2}}{4 \times 10 \times 0, 2} C \approx 4, 1 . 10^{- 5} F C = 41 μ F$

$4 - 2$ تحديد الطاقة الكلية للدارة عند اللحظة $t_{1} = 36 m s$

مبيانيا عند اللحظة $t_{1} = 36 m s$ التوتر بين مربطي المكثف قصوي ويساوي $u_{C} (t_{1}) = 4, 5 V$ وهذا يعني أن شدة التيار في هذه اللحظة منعدمة وبالتالي الطاقة المخزونة في الوشيعة $E_{m}$ منعدمة

إذن الطاقة الكلية للدارة الكهربائية في هذه اللحظة تساوي الطاقة المخزونة في المكثف

$E_{e} (t_{1}) = \frac{1}{2} C . u_{c}^{2} (t_{1}) \Rightarrow ξ_{1} = \frac{1}{2} C . u_{c}^{2} (t_{0}) \Rightarrow ξ_{1} = \frac{1}{2} \times 41 . 10^{- 6} \times {(4, 5)}^{2} = 4, 15 . 10^{- 4} J \Rightarrow ξ_{1} \approx 0, 41 m J$

$5 - 2$ إذا كانت مقاومة الدارة ضعيفة، يتناقص وسع الذبذبات تدريجيا مع الزمن

نقول إن التذبذبات مخمدة، يسمى هذا النظام شبه دوري

سبب الخمود ناتج عن وجود المقاومة، حيث الطاقة الكلية غير ثابتة وإنما تتناقص بفعل ضياع الطاقة بمفعول جول
4
التمرين 4
الميكانيك

الجزء الأول: دراسة حركة متزلج

تحظى ممارسة رياضة التزلج في المنتجعات الجبلية باهتمام متزايد من طرف شباب المغرب, نظرا لكون هذه الرياضة متكاملة تجمع بين المتعة والمغامرة...

يهدف هذا الجزء الى دراسة حركة مركز قصور متزلج ولوازمه على حلبة للتزلج

يمثل الشكل أسفله حلبة للتزلج تتكون من جزأين:

جزء $A' B'$ مستقيمي مائل بزاوية $α$ بالنسبة للمستوى الأفقي

جزء $B' C'$ مستقيمي أفقي

المعطيات:

$g = 9, 8 m . s^{- 2}$

طول الجزء $A' B'$ : $A' B' = 80 m$

كتلة المتزلج ولوازمه: $m = 60 k g$

زاوية الميل: $α = 18 °$

$1$ دراسة حركة المتزلج ولوازمه على الجزء المائل بدون احتكاك

ندرس حركة $G$ مركز قصور المجموعة $(S)$ المكونة من المتزلج ولوازمه في المعلم $(A, \vec{i}', \vec{j}')$ المرتبط بالأرض والذي نعتبره غاليليا

عند لحظة   $t = 0$ نأخذها أصلا للتواريخ تنطلق المجموعة $(S)$ بدون سرعة بدئية من موضع يكون فيه $G$ منطبقا مع النقطة $A$

تتم حركة $G$ على المستوى المائل $A B$ حسب الخط الأكبر ميلا, حيث $A B = A' B'$

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن, أوجد:

$1 - 1$ قيمة التسارع $a_{G}$ لحركة مركز القصور $(S)$

$2 - 1$ الشدة $R$ للقوة التي يطبقها السطح المائل على المجموعة $(S)$

$3 - 1$ القيمة $v_{B}$ لسرعة $G$ في الموضع $B$

$2$ دراسة حركة المتزلج ولوازمه على الجزء الأفقي باحتكاك

تتم حركة $G$ مركز قصور المجموعة $(S)$ على الجزء $B C$ , حيث $B C = B' C'$

ندرس حركة $G$ في معلم غاليلي أفقي $(B, \vec{i})$ مرتبط بالأرض , نأخذ $x_{G} = 0$ عند لحظة $t = 0$ نعتبرها أصلا جديدا للتواريخ

تخضع المجموعة $(S)$ خلال حركتها لنوعين من الاحتكاكات:

احتكاكات التماس بين الجزء الأفقي $B' C'$ والمجموعة $(S)$ , ننمذجها بقوة ثابتة ${\bar{f}}_{1} = - 6 . \vec{i}$

احتكاكات ناتجة عن تأثير الهواء, ننمذجها بالقوة ${\bar{f}}_{2} = - 0, 06 . v^{2} . \vec{i}$ حيث $v$ سرعة مركز القصور $G$

$1 - 2$ بتطبيق القانون الثاني لنيوتن ،أثبت أن المعادلة التفاضلية التي تحققها السرعة   $v$ تكتب على شكل $\frac{d v}{d t} + 10^{- 3} . v^{2} + 0, 1 = 0$

$2 - 2$ باعتماد الجدول أسفله وباستعمال طريقة أولير, احسب القيمتين $a_{i + 1}$ و $v_{i + 2}$

الجزء الثاني: دراسة مجموعة ميكانيكية متذبذبة

يمكن نواس اللي من تحديد بعض المقادير الفيزيائية المميزة للمادة كثابتة اللي للمواد الصلبة القابلة للتشويه وعزم قصور المجموعات الميكانيكية المتذبذبة...

ندرس بشكل مبسط كيفية تحديد ثابتة اللي لسلك فلزي وبعض المقادير الحركية والتحريكية باستغلال مخططات الطاقة لنواس اللي

يتكون نواس اللي من سلك فلزي رأسي ثابتة ليه $C$ ومن قضيب $A B$ متجانس, عزم قصوره $J_{∆} = 2, 4 . 310^{- 3} k g . m^{2}$ بالنسبة لمحور رأسي $(∆)$ منطبق مع السلك ويمر من $G$ مركز قصور القضيب

ندير القضيب $A B$ أفقيا في المنحى الموجب حول المحور $(∆)$ بالزاوية $θ_{m} = 0, 4 r a d$ بالنسبة لموضع التوازن, ثم نحرره بدون سرعة بدئية عند لحظة $t = 0$ نعتبرها أصلا للتواريخ نمعلم موضع القضيب في كل لحظة بأفصوله الزاوي $θ$ بالنسبة لموضع التوازن (الشكل $1$ )

ندرس حركة النواس في معلم مرتبط بالأرض نعتبره غالیلیا

نعتبر موضع التوازن مرجعا لطاقة الوضع للي والمستوى الأفقي المار من $G$ مرجعا لطاقة الوضع الثقالیة نھمل جمیع الاحتكاكات

يمثل المنحنيان $(a)$ و $(b)$ في الشكل $2$ تغيرات طاقة الوضع $E_{p}$ للمتذبذب وطاقته الحركية $E_{c}$ بدلالة $θ$

$1$ أقرن, معللا جوابك, كل منحنى بالطاقة الموافقة له

$2$ حدد قيمة ثابتة اللي $C$ للسلك الفلزي

$3$ أوجد القيمة المطلقة للسرعة الزاوية ${\dot{θ}}_{1}$ لحظة مرور المتذبذب من موضع أفصوله الزاوي $θ_{1} = 0, 2 r a d$

$4$ احسب شغل عزم مزدوجة اللي $W (M_{c})$ عند انتقال المتذبذب من موضع أفصوله الزاوي $θ = 0$ الى موضع أفصوله الزاوي $θ_{1}$

الميكانيك

الجزء الأول: دراسة حركة متزلج

$1$ دراسة حركة المتزلج ولوازمه على الجزء المائل بدون احتكاك

$1 - 1$ إيجاد قيمة التسارع $a_{G}$

المجموعة المدروسة: المجموعة $(S)$

جرد القوى:

$\vec{P}$ : وزن الجسم

$\vec{R}$ : تأثير السطح المائل

نعتبر المعلم $(A, \vec{i'}, \vec{j'})$ المرتبط بالأرض معلما غاليليا

تطبيق القانون الثاني لنيوتن: $\sum {\vec{F}}_{e x t} = m . {\vec{a}}_{G}$

$\vec{P} + \vec{R} = m . {\vec{a}}_{G}$

الإسقاط على المحور $A x$ :

$P_{x} + R_{x} = m a_{G x} \Rightarrow m . g . \sin a = m . a_{G} \Rightarrow a_{G} = g . \sin a \Rightarrow a_{G} = 9, 8 \times \sin (18 °) = 3, 0 m . s^{- 1}$

$2 - 1$ الشدة $R$ التي يطبقها السطح المائل

إسقاط العلاقة المتجهية على المحور $A y$ :

$P_{y} + R_{y} = m a_{G y} \Rightarrow R - m . g . \cos a = 0 \Rightarrow R = m . g . \cos a R = 60 \times 9, 8 \times \cos (18 °) = 559, 2 N$

$3 - 1$ القيمة $V_{B}$ لسرعة $G$ في الموضع $B$

معادل السرعة تكتب: $v_{G} = a_{G} . t + v_{0}$ مع: $V_{0} = 0$

نحصل على: $v_{G} = a_{G} . t (1)$

المعادلة الزمنية: $x_{G} = \frac{1}{2} . a_{G} . t^{2} + v_{0} . t + x_{0}$ مع: $v_{0} = 0$ و $x_{0} = 0$

نحصل على: $x_{G} = \frac{1}{2} . a_{G} . t^{2} (2)$

نقصي الزمن من المعادلتين $(1)$ و $(2)$ فنحصل على:   $x_{G} = \frac{1}{2} . a_{G} . {(\frac{v_{G}}{a_{G}})}^{2}$

أي: $v_{G}^{2} = 2 a_{G} . x_{G}$

ومنه: $v_{G} = \sqrt{2 a_{G} . x_{G}}$

عند الموضع $B$ نكتب:   $v_{B} = \sqrt{2 a_{G} . A B}$

ت.ع:

$v_{B} = \sqrt{2 \times 3, 0 \times 80} = 21, 91 m . s^{- 1} \Rightarrow v_{B} \approx 22, 0 m . s^{- 1}$

ملحوظة: لا تقبل النتيجة باستعمال العلاقة المستقلة عن الزمن مباشرة $v_{B}^{2} - v_{A}^{2} = 2 a_{G} (x_{B} - x_{A})$

$2$ دراسة حركة المتزلج ولوازمه على الجزء الأفقي باحتكاك

$1 - 2$ إثبات المعادلة التفاضلية التي تحققها السرعة $v$

المجموعة المدروسة: المجموعة $(S)$

جرد القوى:

$\vec{P}$ : وزن الجسم

$\vec{R}$ : تأثير السطح المائل يمكن تفكيك القوة $\vec{R}$ الى: $\vec{R} = {\vec{R}}_{N} + \vec{f_{1}}$

$\vec{f_{2}}$ : تأثير الهواء

نعتبر المعلم $(A, \vec{i'}, \vec{j'})$ المرتبط بالأرض معلما غاليليا

تطبيق القانون الثاني لنيوتن: $\sum {\vec{F}}_{e x t} = m . {\vec{a}}_{G}$

$\vec{P} + \vec{R} + \vec{f} = m . {\vec{a}}_{G}$

الإسقاط على المحور $B x$ :

$P_{x} + R_{x} + f_{1 x} = m a_{G x} \Rightarrow - f_{1} - f_{2} = m . a_{G} \Rightarrow m . \frac{d v}{d t} + 0, 06 v^{2} + 6 = 0 \Rightarrow \frac{d v}{d t} + \frac{0, 06}{60} . v^{2} + \frac{6}{60} = 0 \Rightarrow \frac{d v}{d t} + 10^{- 3} . v^{2} + 0, 1 = 0$

$2 - 2$ حساب القيمتين $a_{i + 1}$ و $v_{i + 2}$

باستعمال المعادلة التفاضلية:   $a_{i + 1} + 10^{- 3} . v_{i + 1}^{2} + 0, 1 = 0$

$a_{i + 1} = - 10^{- 3} \times {(21, 54)}^{2} - 0, 1 \Rightarrow a_{i + 1} \approx - 0, 56 m . s^{- 2}$

باستعمال طريقة أولير: $v_{i + 2} = a_{i + 1} . ∆ t + v_{i + 1}$

$v_{i + 2} = (- 0, 56) \times (0, 8 - 0, 4) + 21, 54 \Rightarrow v_{i + 2} \approx 21, 32 m . s^{- 1}$

الجزء الثاني: دراسة مجموعة ميكانيكية متذبذبة

$1$ موافقة كل منحنى بالطاقة الموافقة له

عند اللحظة   $t = 0$ لدينا: $θ = θ_{m} = 0, 4 r a d$

وبالتالي طاقة وضع اللي عند هذه اللحظة قصوية $E_{p t} = \frac{1}{2} . C . θ_{m}^{2}$

ومنه المنحنى $(b)$ يوافق طاقة الوضع اللي $E_{p t}$

في نفس اللحظة أي: $θ = θ_{m}$ لدينا السرعة منعدمة أي: الطاقة الحركية منعدمة: $E_{c} = 0$ وبالتالي المنحنى $(a)$ يوافق الطاقة الحركية

$2$ تحديد قيمة $C$ ثابتة لي السلك

لدينا: $E_{p t m} = \frac{1}{2} . C θ_{m}^{2}$ ومنه: $C = \frac{2 E_{p t m}}{θ_{m}^{2}}$

عند $θ = θ_{m} = 0, 4 r a d$ لدينا مبيانيا: $E_{p t m} = 1, 6 m J$

نستنتج قيمة $C$ :

$C = \frac{2 \times 1, 6 . 10^{- 3}}{0, 4^{2}} \Rightarrow C = 2 . 10^{- 2} N . m . r a d^{- 1}$

$3$ القيمة المطلقة للسرعة الزاوية $\dot{θ_{1}}$ لحظة مرور المتذبذب من $θ_{1}$

باستعمال مبيان الشكل $2$ عند الأفصول الزاوي $θ_{1} = 0, 2 r a d$ نجد: $E_{p t 1} = 0, 4 m J$

نعلم أن: $E_{m} = E_{p t 1} + E_{c 1}$

أي: $E_{c 1} = E_{m} - E_{p t 1} = 1, 6 - 0, 4 = 1, 2 m J$

كما أن: $E_{c 1} = \frac{1}{2} J_{∆} . \dot{θ_{1}^{2}}$

أي: $\dot{θ_{1}^{2}} = \frac{2 E_{c 1}}{J_{∆}} \Rightarrow |\dot{θ_{1}}| = \sqrt{\frac{2 E_{c 1}}{J_{∆}}}$

ت.ع:

$|\dot{θ_{1}}| = \sqrt{\frac{2 \times 1, 2 . 10^{- 3}}{2, 4 . 10^{- 3}}} = 1 r a d . s^{- 1}$

$4$ حساب شغل عزم مزدوجة اللي عند انتقال المتذبذب من $θ = 0$ الى $θ_{1}$

لدينا: $W_{θ \to θ_{1}} (M_{c}) = - ∆ E_{p t} = - (E_{p t 1} - E_{p t}) = E_{p t} - E_{p t 1}$

مبيانيا عند $θ = 0$ لدينا: $E_{p t} = 0$

ومنه:

$W_{θ \to θ_{1}} (M_{c}) = - E_{p t} = - 0, 4 m J \Rightarrow W_{θ \to θ_{1}} (M_{c}) = - 4 . 10^{- 4} J$