المستقيمات الهامة في مثلث - تمارين محلولة

1

التمرين 1

$A B C$ مثلث، $M$ منتصف $[B C]$

بحيث: $A M = 6 c m$ و $B C = 5 c m$

ارسم الشكل

حدد موقع $G$ مركز ثقل المثلث $A B C$ على المتوسط $[A M]$

الشكل

نعلم أن مركز ثقل مثلث هو نقطة تلاقي متوسطاته

وبما أن $G$ مركز ثقل المثلث $A B C$ و $M$ منتصف $[B C]$

فإن $G$ هي نقطة تقاطع $(A M)$ ومتوسط المثلث $A B C$ المأخود من الرأس $B$ أو من الرأس $C$

لدينا $G$ مركز ثقل المثلث $A B C$

$A G = \frac{2}{3} A M$
$A G = \frac{2}{3} \times 6 c m$
$A G = \frac{12}{3} c m$
$A G = 4 c m$
2

التمرين 2

$A B C$ مثلث متساوي الساقين في $A$ ، $(A M)$ متوسطه

ماذا يمثل $(A M)$ للمثلث $A B C$

$H$ المسقط العمودي لـ $M$ على $(A B)$

ماهو مركز تعامد المثلث $A M B$ ؟

الشكل

بما أن $(A M)$ متوسط المثلث $A B C$ المتساوي الساقين في $A$

فإن $(A M)$ واسط وارتفاع للمثلث $A B C$

لدينا $H$ المسقط العمودي للنقطة $M$ على $(A B)$ إذن $(A B) ⊥ (M H)$

ومنه $(M H)$ ارتفاع للمثلث $A B M$

وبما أن $(A M)$ ارتفاع في المثلث $A B C$

فإن $A B M$ قائم الزاوية في $M$

ومنه $(A M)$ ارتفاع في المثلث $A B M$

لدينا $(A M)$ و $(M H)$ ارتفاعين في المثلث $A B M$ ويتقاطعان في $M$

إذن $M$ هو مركز تعامد المثلث $A B M$
3

التمرين 3

$C F J$ مثلث متساوي الساقين في $C$

المتوسط المار من $C$ ومنصف الزاوية $C \hat{F} J$ يتقاطعان في $O$

بين أن $[J O)$ منصف الزاوية $C \hat{J} F$

نبين أن $[J O)$ منصف الزاوية $C \hat{J} F$

لدينا $(C O)$ متوسط المثلث $C \hat{F} J$ المتساوي الساقين في $C$ إذن $[C O)$ منصف الزاوية $F \hat{C} J$

وبما أن $[F \hat{O})$ منصف الزاوية $C D J$

فإن $O$ مركز الدائرة المحاطة بالمثلث $C F J$ وبالتالي $[J O)$ منصف الزاوية $C \hat{J} F$
4

التمرين 4

$M E N$ مثلث متساوي الساقين في $M$

$E'$ منتصف $[M N]$ و $N'$ منتصف $[M E]$

$1$ ماذا يمثل المستقيمات $(E E')$ و $(N M')$ للمثلث $M E N$

$2$ برهن أن: $E E' = N N'$

(استعمل التماثل المحوري الذي محوره واسط $[E N]$ )

$1$ بما أن $E'$ منتصف $[M N]$ فإن $(E E')$ متوسط المثلث $M E N$

لدينا $N'$ منتصف $[E M]$

إذن $(N N')$ متوسط المثلث $M E N$

$2$

نبين أن $E E' = N N'$

ليكن $(∆)$ واسط $[E N]$

لدينا $M E N$ مثلث متساوي الساقين في $M$ إذن مماثلة $M$ بالنسبة للمستقيم $(∆)$ هي $M$ ومماثلة $E$ بالنسبة للمستقيم $(∆)$

هي $N$ ومنه مماثلة $[M E]$ بالنسبة للمستقيم $(∆)$ هي $[M N]$ وبما أن $N'$ منتصف $[E M]$ و $E'$ منتصف $[M N]$

فإن $N'$ هي مماثلة $E'$ بالنسبة للمستقيم $(∆)$ لأن التماثل المحوري يحافظ على المنتصف

خلاصة:

لدينا:

$N'$ مماثلة $E'$ بالنسبة للمستقيم $(∆)$

$N$ مماثلة $E$ بالنسبة للمستقيم $(∆)$

إذن $E E' = N N'$ لأن التماثل المحوري يحافظ على المسافة بين نقطتين.