معادلة مستقيم - تمارين محلولة

$A\left(2;4\right)$  و $\left(D\right): y=3x+1$

لتكن $y=mx+p$ المعادلة المختصرة للمستقيم $\left(∆\right)$ المار من $A$ والموازي لـ $\left(D\right)$

بما أن $\left(∆\right)//\left(D\right)$ فإن $m=3$ ومنه $\left(∆\right):y=3x+p$

نعلم أن $\left(∆\right)$ يمر من $A\left(2;4\right)$

$4=3\left(2\right)+p$

$4=6+p$

$p=4-6$

$p=-2$

$\boxed{\left(∆\right)=y=3x-2}$

$A\left(1;-3\right)$  و $\left(D\right): y=2x$

لتكن $y=mx+p$ المعادلة المختصرة للمستقيم $\left(D\text{'}\right)$ المار من $A\left(1;-3\right)$ والموازي للمستقيم $\left(D\right)$

بما أن $\left(D\text{'}\right)//\left(D\right)$ فإن $m=2$ ومنه $\left(D\text{'}\right)=y=2x+p$

نعلم أن $\left(D\text{'}\right)$ يمر من $A\left(1;-3\right)$

$-3=2\left(1\right)+p$

$-3=2+p$

$-3-2=p$

$p=-5$

$\boxed{\left(D\text{'}\right)=y=2x-5}$

$A\left(14;-2\right)$  و  $\left(D\right):y=\frac{-4}{7}x+2$

لتكن $y=mx+p$ المعادلة المختصرة للمستقيم $\left(∆\text{'}\right)$ المار من $A$ والموازي للمستقيم $\left(D\right)$

بما أن $\left(D\right)//\left(∆\text{'}\right)$ فإن $m=\frac{-4}{7}$

ومنه: $\left(∆\text{'}\right):y=\frac{-4}{7}x+p$

نعلم أن $\left(∆\text{'}\right)$ يمر من $A\left(14,-2\right)$

$-2=\frac{-4}{7}\left(14\right)+p$

$-2=-8+p$

$-2=-8+p$

$p=6$

$\boxed{\left(∆\text{'}\right):y=\frac{-4}{7}x+6}$

$A \left(1;-1\right)$ و $B \left(2;1\right)$ و $C \left(0;2\right)$

المعادلة المختصرة للمستقيم $\left(AB\right)$

لتكن $y=ax+b$ المعادلة المختصرة للمستقيم $\left(AB\right)$

بما أن: $x_A\ne x_B$

فإن $a=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}$

$a=\frac{-1-1}{1-2}$

$a=\frac{-2}{-1}$

$a=2$

$\boxed{\left(AB\right) : y=2x+b}$

نعلم أن $B\in \left(AB\right)$

إذن: $1=2\left(2\right)+b$

$1=4+b$

$1-4=b$

$b=-3$

$\boxed{\left(AB\right) : y=2x-3}$

المعادلة المختصرة للمستقيم $\left(BC\right)$

لتكن $y=ax+b$ المعادلة المختصرة للمستقيم $\left(BC\right)$

بما ان $x_B\ne x_C$

فإن $a=\frac{y_B-y_C}{x_B-x_C}$

$a=\frac{1-2}{2-0}$

$a=-\frac{1}{2}$

$\boxed{\left(BC\right) : y=-\frac{1}{2}x+b}$

نعلم أن $B\in \left(BC\right)$

إذن: $1=-\frac{1}{2} \left(2\right)+b$

$1=-1+b$

$b=2$

$\boxed{\left(BC\right) : y=-\frac{1}{2}x+2}$

استنتاج:

$\left(AB\right) : y=2x-3$إذن ميل $\left(AB\right)$ هو العدد $\boxed{2}$

$\left(BC\right) : y=-\frac{1}{2}x+2$إذن ميل $\left(BC\right)$ هو العدد $\boxed{-\frac{1}{2}}$

وبما أن: $2\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{2}{2}$

فإن $2\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$

ومنه $\left(AB\right)\perp \left(BC\right)$ لأن جداء ميليهما يساوي $-1$

وبالتالي $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $B$

$\left({∆}_1\right):y=3x-5$

إذا كانت $x-1$ فإن $y=3-5$ أي $y=-2$

ومنه $A \left(1;-2\right)$ نقطة من $\left({∆}_1\right)$

إذا كانت $x=2$ فإن $y=6-5$ أي $y=1$

ومنه $\left({∆}_1\right)$ يمر من $B \left(2;1\right)$

$\left({∆}_2\right):y=\frac{2}{5}x+3$

إذا كانت $x=0$ فإن $y=3$

ومنه $E \left(0;3\right)$ نقطة من $\left({∆}_2\right)$

إذا كانت $x=-5$ فإن $y=-2+3$

أي $y=1$ ومنه $F \left(-5;1\right)$ نقطة من $\left({∆}_2\right)$

وبالتالي $\left({∆}_2\right)$ هو المستقيم المار $E$ و $F$

$\left({∆}_3\right):y=4$

$\left({∆}_3\right)$ مستقيم موازي لمحور الأفاصيل ومار من النقطة $M \left(0;4\right)$

الشكل

$(∆):y=-5x+3$

إذا كان $x=1$ فإن $y=-5+3$

أي $y=-2$

ومنه $M \left(1;-2\right)$ نقطة من $\left(∆\right)$

إذا كان $x=0$

فإن $y=3$

ومنه $N\left(0 ; 3\right)$ نقطة من $\left(∆\right)$

• لدينا:

$A$ نقطة من $\left(∆\right)$ أفصولها $-2$ و $(∆):y=-5x+3$

إذن: $y=-5\left(-2\right)+3$

$y=10+3$

$y=13$

وبالتالي العدد $13$ هو أرتوب النقطة $A$ حيث $A$ تنتمي الى $\left(∆\right)$ وأفصولها $-2$ أي $\boxed{A\left(-2 ; 13\right)}$

• لدينا:

$B$ نقطة من $\left(∆\right)$ أرتوبها $-2$ و $(∆):y=-5x+3$

$-2=-5x+3$

$5x=3+2$

$5x=5$

$x=1$

وبالتالي العدد $1$ هو أفصول النقطة $B$ حيث $B$ نقطة من $\left(∆\right)$ وأرتوبها $-2$ أي $\boxed{B\left(1 ;-2\right)}$

• لدينا:

$C\left(4 ; 17\right)$  و $y=-5x+3$ إذن $-5\left(4\right)+3=-20+3$

أي $-5.\left(4\right)+3=-17$ وبما أن $-17\ne 17$

فإن النقطة $C$ لا تنتمي الى المستقيم $\left(∆\right)$