المثلثات المتقايسة والمثلثات المتشابهة - تمارين محلولة

1

التمرين 1

$A B C D$ مستطيل

بين أن المثلثين $A C D$ و $A B C$ متقايسان

الشكل

أبين أن المثلثين $A C D$ و $A B C$ متقايسان

حسب المعطيات نعلم أن الرباعي $A B C D$ مستطيل

إذن لدينا: $A B = D C$ و $B C = A D$ و $A C = B D$

وبالتالي بالنسبة للمثلثين $A B C$ و $A C D$

لدينا:

$A B = D C$

$B C = A D$

$A C = B D$

إذن $A B C$ و $A C D$ مثلثان متقايسان وهذا حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات
2

التمرين 2

$A B C$ مثلث متساوي الأضلاع $E$ نقطة من القطعة $[A B]$ و $F$ نقطة من القطعة $[B C]$

حيث أن: $A E = B F$

بين أن المثلثين $A B F$ و $A C E$ متقايسان

الشكل

أبين أن المثلثين $A B F$ و $A C E$ متقايسان

في المعطيات نعلم أن المثلث $A B C$ متساوي الأضلاع وأن: $E \in [A B]$ و $F \in [B C]$

إذن $A B = A C = B C$ و $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \hat{B A C} = 60 °$

ولدينا كذلك في المعطيات $A E = B F$ إذن للمثلثين $A B F$ و $A C E$

$\begin{array}{r} \hat{A B F} = \hat{C A E} = 60 ° \\ A B = A C \\ B F = A E \end{array}\}$

اذن المثلثان $A B F$ و $A C E$ متقايسان وهذا حسب الحالة الثانية في تقايس المثلثات
3

التمرين 3

انقل في دفترك الشكل التالي:

بين أن المثلثين $A C F$ و $A B E$ متقايسان

استنتج أن $C F = B E$ و $A E = A F$

انظر الشكل في المعطيات

أبين أن المثلثين $A C F$ و $A B E$ متقايسان

حسب الشكل لدينا:

$\hat{A E B} = \hat{A F C}$ و $\hat{A B E} = \hat{A C F}$ و $A B = A C$

وبما أن مجموع قياسات زوايا مثلث يساوي $180$ درجة فإنه في المثلث $A B E$

لدينا: $\hat{A B E} + \hat{A E B} + \hat{B A E} = 180 °$

أي: $(1) \hat{B A E} = 180 ° - (\hat{A B E} + \hat{A E B})$

وفي المثلث $A C F$ لدينا: $\hat{A C F} + \hat{A F C} + \hat{F A C} = 180 °$

أي $(2) \hat{F A C} = 180 ° - (\hat{A C F} + \hat{A F C})$

وبما أن $\hat{A E B} = \hat{A F C}$ و $(3) \hat{A B E} = \hat{A C F}$

فإنه من المتساويات $(1)$ و $(2)$ و $(3)$

نستنتج أن: $\hat{B A E} = \hat{F A C}$

وبالتالي بالنسبة للمثلثين $A C F$ و $A B E$ لدينا:

$\begin{array}{r} \hat{B A E} = \hat{F A C} \\ \hat{A B E} = \hat{A C F} \\ A B = A C \end{array}\}$

إذن المثلثان $A C F$ و $A B E$ متقايسان وهذا حسب الحالة الثالثة من تقايس المثلثات

استنتاج: $C F = B E$ و $A E = A F$

حسب جواب السؤال $(1)$

نعلم أن المثلثين $A C F$ و $A B E$ متقايسان إذن أضلاعهما المتناظرة متقايسة

ومنه نستنتج أن:

$C F = B E$ و $A E = A F$
4

التمرين 4

لتكن $(C)$ دائرة مركزها $I$ وشعاعها $r$ و $M$ نقطة تقع داخل الدائرة المستقيم $(I M)$ يقطع $(C)$ في $E$ و $F$

وليكن $(D)$ مستقيما يمر من $M$ ويقطع $(C)$ في $A$ و $B$

بين أن المثلثين $M A E$ و $M B F$ متشابهان

الشكل:

أبين أن المثلثين $M A E$ و $M B F$ متشابهان

لدينا $\hat{A E F}$ زاوية محيطية تحصر القوس $\hat{A F}$ و $\hat{A B F}$ زاوية محيطية تحصر نفس القوس $\hat{A F}$

إذن: $\hat{A E F} = \hat{A B F}$

ولدينا أيضا $\hat{B F E}$ زاوية محيطية تحصر القوس $\hat{B E}$ و $\hat{B A E}$ زاوية محيطية تحصر نفس القوس $\hat{B E}$

إذن: $\hat{B F E} = \hat{B A E}$ أي: $\hat{B F M} = \hat{M A E}$

وبالتالي بما أن $\hat{A E F} = \hat{A B F}$ و $\hat{B F M} = \hat{M A E}$

فإن $M A E$ و $M B F$ مثلثان متشابهان حسب الحالة الاولى من التشابه

$\hat{B M F} = E M A$
5

التمرين 5

$[A B]$ و $[C D]$ قطعتان متقاطعتان في نقطة $M$

بحيث: $M A = 4$ و $M B = 12$ و $M C = 3$ و $M D = 9$

قارن المثلثين: $M A C$ و $M B D$

الشكل:

الزاويتان $M M D$ و $A M C$ متقابلتان بالرأس إذن:

$A M C = B M D$

الضلعان اللذان يحصران $A M C$ هما $M C = 3$ و $M A = 4$

الضلعان اللذان يحصران $B M D$ هما $M A = 12$ و $M D = 9$

لنقارن $\frac{M C}{M D}$ و $\frac{M A}{M B}$

نعلم أن: $\frac{M C}{M D} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ وأن: $\frac{M A}{M B} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

إذن $\frac{M C}{M D} = \frac{M A}{M B} = \frac{1}{3}$

بما أن $\hat{A M C} = \hat{B M D}$ و $\frac{M C}{M D} = \frac{M A}{M B}$

فإن المثلثين $M A C$ و $M B D$ متشابهان حسب الحالة الثانية من حالالت التشابه

Retour

المثلثات المتقايسة والمثلثات المتشابهة - تمارين محلولة

التمرين 1

أبين أن المثلثين $A C D$ و $A B C$ متقايسان

التمرين 2

أبين أن المثلثين $A B F$ و $A C E$ متقايسان

التمرين 3

أبين أن المثلثين $A C F$ و $A B E$ متقايسان

استنتاج: $C F = B E$ و $A E = A F$

التمرين 4

أبين أن المثلثين $M A E$ و $M B F$ متشابهان

التمرين 5

Maroc

France

Plus

المثلثات المتقايسة والمثلثات المتشابهة - تمارين محلولة

التمرين 1

أبين أن المثلثين ACD و ABC متقايسان

التمرين 2

أبين أن المثلثين ABF و ACE متقايسان

التمرين 3

أبين أن المثلثين ACF و ABE متقايسان

استنتاج: CF=BE و AE=AF

التمرين 4

أبين أن المثلثين MAE و MBF متشابهان

التمرين 5

Maroc

France

Plus

أبين أن المثلثين $A C D$ و $A B C$ متقايسان

أبين أن المثلثين $A B F$ و $A C E$ متقايسان

أبين أن المثلثين $A C F$ و $A B E$ متقايسان

استنتاج: $C F = B E$ و $A E = A F$

أبين أن المثلثين $M A E$ و $M B F$ متشابهان