المثلث القائم الزاوية والحساب المثلثي - تمارين محلولة

حساب النسب المثلثية للزاوية $\widehat{ABC}$

بما أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$

فإن: $\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC}$ و $\cos \hat{B}=\frac{AB}{BC}$ و $\tan \hat{B}=\frac{AC}{AB}$

وحسب مبرهنة فبتاغورس لدينا: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

وبما ان المثلث $AB=4$ و $AC=3$ فإن $B{C}^2=16+9$

أي $B{C}^2=25$ ومنه $\boxed{BC=5}$

وبالتالي: $cos \widehat{ABC}=\frac{4}{5}$ و $\sin \widehat{ABC}=\frac{3}{5}$ و $\tan \hat{B}=\frac{AC}{AB}$

حساب $MN$ و $BN$

في المثلث $BMN$ القائم الزاوية في $M$

لدينا: $\cos \widehat{MBN}=\frac{BM}{BN}$

يعني $BN=\frac{BM}{\cos \widehat{MBN}}$

وبما أن $\cos \widehat{MBN}=\cos \widehat{ABC}=\frac{4}{5}$

فإن $BN=\frac{BM}{4}$ (لأن $\widehat{MBN}=\widehat{ABC}$)

ولدينا في المعطيات $BM=7,5$

إذن $BN=7,5\times \frac{5}{4}$

أي $\boxed{BN=\frac{75}{8}}$

وفي المثلث $BMN$ لدينا  $\sin \widehat{MBN}=\frac{MN}{BN}$

وبما ان $\sin \widehat{MBN}=\sin \widehat{ABC}=\frac{3}{5}$

و $BN=\frac{75}{8}$$BN=\frac{75}{8}$

فإن $\frac{3}{5}=\frac{MN}{{\displaystyle \left(\frac{75}{8}\right)}}$

يعني أن $MN=\frac{3}{5}\times \left(\frac{75}{8}\right)$

أي أن $\boxed{MN=\frac{45}{8}}$

حساب قيمة $y$

بما أن $18°+72=90°$

فإن ${\cos }^2 18°={\sin }^2 72°$

وبما أن $36°+54°=90°$

فإن ${\cos }^2 36°={\sin }^2 54°$

وبالتالي لدينا $y={\cos }^2 18°+{\cos }^2 36°+{\cos }^2 54+{\cos }^2 72°$

يعني ان $y={\sin }^2 72°+{\sin }^2 54°+{\cos }^2 54+{\cos }^2 72°$

يعني ان $y=\left({\sin }^2 72°+{\cos }^2 72°\right)+\left({\cos }^2 54+{\sin }^2 54° \right)$

وبما أن ${\sin }^2 72°+{\cos }^2 72°={\sin }^2 54+{\cos }^2 72°=1$

فإن $\boxed{y=1+1=2}$

الشكل

حساب المسافة $DB$

بما أن المثلث $ABD$ قائم الزاوية في $B$ و $\widehat{ADB}=70°$

وأن المثلث $AMB$ قائم الزاوية في $B$ و $\widehat{AMB}=36°$

فإن $\left(1\right) \tan {70}^{°}=\frac{AB}{DB}$

وأن $\left(2\right) \tan {36}^{°}=\frac{AB}{MB}$

إذن من العلاقتين $\left(1\right)$ و $\left(2\right)$ نستنتج أن:

$AB=DB.\tan 70°$ وأن $AB=MB.\tan 36°$

أي أن $DB.\tan 70°=MB.\tan 36°$

وبما أن $MB=90,9+DB$

فإن $DB.\tan 70°=\left(90,9+DB\right)\tan 36°$

تعني أن $DB\left(\tan 70°-\tan 36°\right)=90,9 \tan 36°$

تعني أن $DB=\frac{90,9.\tan 36°}{\tan 70°-\tan 36°}$

أي أن $\boxed{DB=32,4 m}$ (استعمال الالة الحاسبة)

حساب المسافة $AB$

نعلم أن $AB=DB.\tan 70°$

إذن $AB=32,4x\tan 70°$

يعني أن $\boxed{AB=88,776}$