الامتحان الوطني الموحد 2015 الدورة الإستدراكية: الموضوع والتصحيح

1
التمرين 1
البنيات الجبرية

الجزء الأول

نزود $ℝ$ بقانون التركيب الداخلي $*$ المعرف بما يلي

$(\forall (x, y) \in ℝ^{2}) x * y = x + y - e^{x y} + 1$

$1$

$أ$ بين أن القانون $*$ تبادلي في $ℝ$

$ب$ بين أن القانون $*$ يقبل عنصرا محايدا يتم تحديده

$2$ علما أن المعادلة $(E) : 3 + x - e^{2 x} = 0$ تقبل في $ℝ$ حلين مختلفين $α$ و $β$ ، بين أن القانون $*$ غير تجميعي

الجزء الثاني

نذكر أن $(M_{2} (ℝ), +, \times)$ حلقة غير تبادلية وواحدية وحدتها $I = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ وأن $(M_{2} (ℝ), +, .)$ فضاء متجهي وأن $(ℂ *, \times)$ زمرة تبادلية

لكل $x$ و $y$ من $ℝ$ ، نضع $M (x, y) = (\begin{matrix} x & - 2 y \\ \frac{y}{2} & x \end{matrix})$

وليكن $F = \{M (x, y) / (x, y) \in ℝ^{2}\}$

$1$ بين أن $F$ فضاء متجهي جزئي للفضاء المتجهي الحقيقي $(M_{2} (ℝ), +, .)$

$2$ بين أن $F$ جزء مستقر من $(M_{2} (ℝ), \times)$

$3$ نعتبر التطبيق $φ$ من $ℂ *$ نحو $F$ الذي يربط كل عدد عقدي $x + i y$ (حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان) بالمصففوفة $M (x, y)$

$أ$ بين أن $φ$ تشاكل من $(ℂ *, \times)$ نحو $(F, \times)$

$ب$ نضع $F * = F - \{M (0, 0)\}$ ، بين أن $φ (ℂ *) = F *$

$ج$ بين أن $(F *, \times)$ زمرة تبادلية

$4$ بين أن $(F, +, \times)$ جسم تبادلي

البنيات الجبرية

الجزء الأول

نزود $ℝ$ بقانون التركيب الداخلي $*$ المعرف بما يلي $(\forall (x, y) \in ℝ^{2}) x * y = x + y - e^{x y} + 1$

$1$

$أ$ لدينا

$(\forall (x, y) \in ℝ^{2}) x * y = x + y - e^{x y} + 1 = y + x - e^{y x} + 1 = y * x$

إذن القانون $*$ تبادلي في $ℝ$

$ب$ ليكن $y$ من $ℝ$

$\forall x \in ℝ; x * y = x \Leftrightarrow \forall x \in ℝ; x + y - e^{x y} + 1 = x \Leftrightarrow \forall x \in ℝ; y + 1 = e^{x y} \Leftrightarrow y = 0$

وبما أن $*$ تبادلي فإن $\forall x \in ℝ; x * 0 = 0 * x = x$

إذن $0$ هو العنصر المحايد للقانون $*$

$2$ المعادلة $(E) : 3 + x - e^{2 x} = 0$ تقبل في $ℝ$ حلين مختلفين $α$ و $β$

إذن

$3 + α - e^{2 α} = 3 + β - e^{2 β} = 0 \Rightarrow α * 2 = β * 2 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} α * (2 * β) = α * 0 = α \\ (α * 2) * β = 0 * β = β \end{cases}$

وبما أن $α \neq β$ فإن $α * (2 * β) \neq (α * 2) * β$

إذن القانون $*$ غير تجميعي

الجزء الثاني

$1$ لدينا $F \subset M_{2} (ℝ)$ (حسب التعريف)، و $F \neq \emptyset$ لأن $I = M (1, 0) \in F$

لدينا

$(\forall (α, β) \in ℝ^{2}) (\forall (M (x, y), M (z, t)) \in F^{2})$

$A = α M (x, y) + β M (z, t) A = (\begin{matrix} α x & - 2 α y \\ \frac{α y}{2} & α x \end{matrix}) + (\begin{matrix} β z & - 2 β t \\ \frac{β t}{2} & β z \end{matrix}) A = (\begin{matrix} α x + β z & - 2 (α y + β t) \\ \frac{α y + β t}{2} & α x + β z \end{matrix}) A = M (α x + β z, α y + β t)$

إذن $α M (x, y) + β M (z, t) \in F$

ومنه نستنتج أن $F$ فضاء متجهي جزئي للفضاء المتجهي الحقيقي $(M_{2} (ℝ), +, .)$

$2$ لدينا

$(\forall (M (x, y), M (z, t)) \in F^{2})$

$B = M (x, y) \times M (z, t) B = (\begin{matrix} x & - 2 y \\ \frac{y}{2} & x \end{matrix}) \times (\begin{matrix} z & - 2 t \\ \frac{t}{2} & z \end{matrix}) B = (\begin{matrix} x z - y t & - 2 (x t + y z) \\ \frac{y z + x t}{2} & - y t + x z \end{matrix}) B = M (x z - y t, x t + y z) \in F$

إذن $F$ جزء مستقر من $(M_{2} (ℝ), \times)$

$3$

$أ$ ليكن $(x, y)$ و $(z, t)$ من $ℝ^{2} - \{(0, 0)\}$

$C = φ ((x + i y) \times (z + i t)) C = φ (x z - y t + i (x t + y z)) C = M (x z - y t, x t + y z) C = M (x, y) \times M (z, t) C = φ (x + i y) \times φ (z + i t)$

إذن $φ$ تشاكل من $(ℂ *, \times)$ نحو $(F, \times)$

$ب$ نضع $F * = F - \{M (0, 0)\}$

$φ (x + i y) = M (0, 0) \Leftrightarrow M (x, y) = M (0, 0) \Leftrightarrow (x, y) = (0, 0)$

يعني $φ (x + i y) \neq M (0, 0) \Leftrightarrow (x, y) \neq (0, 0)$

يعني $z \in ℂ * \Leftrightarrow φ (z) \in F *$

إذن $φ (ℂ *) = F *$

$ج$ لدينا $(ℂ *, \times)$ زمرة تبادلية و $φ$ تشاكل من $(ℂ *, \times)$ نحو $(F, \times)$ و $φ (ℂ *) = F *$

إذن $(F *, \times)$ زمرة تبادلية

$4$

بما أن $F$ فضاء متجهي جزئي للفضاء المتجهي الحقيقي $(M_{2} (ℝ), +, .)$ فإن $(F, +)$ زمرة تبادلية

$(F *, \times)$ زمرة تبادلية

بما أن $\times$ توزيعي على $+$ في $M_{2} (ℝ)$ و $F$ جزء مستقر بالنسبة ل $\times$ ول $+$ فإن $\times$ توزيعي على $+$ في $F$

نستنتج أن $(F, +, \times)$ جسم تبادلي
2

التمرين 2

الحسابيات وحساب الاحتمالات

$I$

$1$ ليكن $a$ من $ℤ$ . بين أنه إذا كان $a$ و $13$ أوليان فيما بينهما فإن $a^{2016} \equiv 1 [13]$

$2$ نعتبر في $ℤ$ المعادلة $(E) : x^{2015} \equiv 2 [13]$ وليكن $x$ حلا للمعادلة $(E)$

$أ$ بين أن $x$ و $13$ أوليان فيما بينهما

$ب$ بين أن $x \equiv 7 [13]$

$3$ بين أن مجموعة حلول المعادلة $(E)$ هي $S = \{7 + 13 k / k \in ℤ\}$

$I I$ نعتبر صندوقا $U$ يحتوي على خمسين كرة مرقمة من $1$ إلى $50$ (الكرات لا يمكن التمييز بينها باللمس)

$1$ نسحب عشوائيا كرة من الصندوق. ما هو احتمال الحصول على كرة تحمل رقما يكون حلا للمعادلة $(E)$ ؟

$2$ نسحب عشوائيا كرة من الصندوق، نسجل رقمها ثم نعيدها إلى الصندوق. نكرر هذه التجربة ثلاث مرات

ما هو احتمال الحصول مرتين بالظبط على كرة تحمل رقما يكون حلا للمعادلة $(E)$ ؟

الحسابيات وحساب الاحتمالات

$I$

$1$ لنبين أن $a \land 13 = 1 \Rightarrow a^{2016} \equiv 1 [13]$

$a$ و $13$ أوليان فيما بينهما و $13$ أولي إذن حسب مبرهنة فيرما

$a^{13} \equiv a [13] \Rightarrow a^{12} \equiv 1 [13] \Rightarrow {(a^{12})}^{168} \equiv {(1)}^{168} [13] \Rightarrow a^{2016} \equiv 1 [13]$

$2$ ليكن $x$ حلا للمعادلة $(E) : x^{2015} \equiv 2 [13]$

$أ$ بالخلف نفترض أن $13$ يقسم $x$

$\{\begin{cases} 13 x \\ x^{2015} \equiv 2 [13] \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 13 x^{2015} \\ x^{2015} \equiv 2 [13] \end{cases} \Rightarrow 132$

وهذا غير ممكن

إذن الافتراض خاطئ ومنه $13$ لا يقسم $x$

أي $x$ و $13$ أوليان فيما بينهما

$ب$ بين أن $x \equiv 7 [13]$

بما أن $x$ و $13$ أوليان فيما بينهما فحسب السؤال $1$ لدينا $x^{2016} \equiv 1 [13]$

وبما أن $x^{2015} \equiv 2 [13]$ فإن $x^{2016} \equiv 2 x [13]$

نستنتج أن $2 x \equiv 1 [13]$ ما يستلزم أن $14 x \equiv 7 [13]$

وحيث أن $14 x \equiv x [13]$ فإن

$x \equiv 7 [13]$

$3$ بين أن مجموعة حلول المعادلة $(E)$ هي $S = \{7 + 13 k / k \in ℤ\}$

نعلم أنه إذا كان $x$ حلا للمعادلة $(E)$ فإن $x \equiv 7 [13]$ أي $x \in (S)$

نفترض أن $x \in (S)$ ولنبين أن $x$ حل للمعادلة $(E)$

لدينا $x \equiv 7 [13]$ ومنه $x^{5} \equiv - 2 [13]$

وبما أن $2015 = 5 \times 13 \times 13$ و ${({(- 2)}^{13})}^{31} \equiv 2 [13]$

فإن ${({(x^{5})}^{13})}^{31} \equiv 2 [13]$ أي $x^{2015} \equiv 2 [13]$

ومنه المطلوب

$I I$

$1$ ليكن $n$ هو رقم الكرة المسحوبة

لدينا

$\{\begin{cases} n \in S \\ n \in \{1, 2, . . ., 50\} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \exists k \in ℤ; n = 7 + 13 k \\ n \in \{1, 2, . . ., 50\} \end{cases} \Rightarrow n \in \{7, 20, 33, 46\}$

ومنه احتمال الحصول على كرة تحمل رقما يكون حلا للمعادلة $(E)$ هو $\frac{4}{50} = \frac{2}{25}$

$2$ ليكن $X$ المتغير العشوائي الحداني الذي وسيطاه $n = 3$ و $p = \frac{2}{25}$

الاحتمال المطلوب هو $p (X = 2)$

$p (X = 2) = C_{3}^{2} p^{2} (1 - p) p (X = 2) = 3 \times \frac{4}{625} \times \frac{23}{25} p (X = 2) = \frac{276}{15625}$

احتمال الحصول مرتين بالظبط على كرة تحمل رقما يكون حلا للمعادلة $(E)$ هو $\frac{276}{15625}$
3

التمرين 3

الأعداد العقدية

نعتبر في المجموعة $ℂ$ المعادلة التالية $(E) : z^{2} - (1 + i) z + 2 + 2 i = 0$

$1$

$أ$ تحقق أن ${(1 - 3 i)}^{2}$ هو مميز المعادلة $(E)$

$ب$ حدد $z_{1}$ و $z_{2}$ حلي المعادلة $(E)$ في المجموعة $ℂ$ (نأخد $z_{1}$ تخيلي صرف)

$ج$ بين أن $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$

$2$ المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر

نعتبر النقطة $A$ التي لحقها $z_{1}$ والنقطة $B$ التي لحقها $z_{2}$

$أ$ حدد العدد العقدي $e$ لحق النقطة $E$ منتصف القطعة $[A B]$

$ب$ ليكن $r$ الدوران الذي مركزه $A$ وقياس زاويته $(\frac{- π}{2})$

وليكن $c$ لحق النقطة $C$ صورة النقطة $E$ بالدوران $r$

بين أن $c = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$

$ج$ نعتبر $D$ النقطة ذات اللحق $d = 1 + \frac{3}{2} i$

بين أن العدد $(\frac{z_{2} - d}{c - d}) \times (\frac{c - z_{1}}{z_{2} - z_{1}})$ حقيقي ثم أول هندسيا النتيجة المحصل عليها

الأعداد العقدية

نعتبر في المجموعة $ℂ$ المعادلة التالية $(E) : z^{2} - (1 + i) z + 2 + 2 i = 0$

$1$

$أ$ ليكن $Δ$ مميز المعادلة $(E)$

$Δ = {(1 + i)}^{2} - 4 (2 + 2 i) Δ = 2 i - 8 - 8 i Δ = 1 - 6 i - 9 Δ = {(1 - 3 i)}^{2}$

$ب$

$z_{1} = \frac{1 + i - 1 + 3 i}{2} = 2 i$

$z_{2} = \frac{1 + i + 1 - 3 i}{2} = 1 - i$

$ج$

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2 i}{1 - i} \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2 e^{i \frac{π}{2}}}{\sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}}} \frac{z_{1}}{z_{2}} = \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$

$2$

$أ$ لدينا

$e = \frac{z_{1} + z_{2}}{2} = \frac{1 + i}{2}$

$ب$ ليكن $c$ لحق النقطة $C$ صورة النقطة $E$ بالدوران $r$

$r (E) = C \Leftrightarrow c - z_{1} = e^{- i \frac{π}{2}} (e - z_{1}) \Leftrightarrow c = - i (\frac{1 + i}{2} - 2 i) + 2 i \Leftrightarrow c = - \frac{1}{2} i + \frac{1}{2} - 2 + 2 i \Leftrightarrow c = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$

$ج$ نعتبر $D$ النقطة ذات اللحق $d = 1 + \frac{3}{2} i$

لدينا

$(\frac{z_{2} - d}{c - d}) = \frac{1 - i - 1 - \frac{3}{2} i}{- \frac{5}{2}} = i$

$(\frac{c - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}) = \frac{- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i - 2 i}{1 - 3 i} = \frac{1}{2} \frac{- 3 - i}{i (- i + 3)} = \frac{- 1}{2} i$

إذن

$(\frac{z_{2} - d}{c - d}) \times (\frac{c - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}) = \frac{1}{2}$

التأويل الهندسي: النقط $A$ و $B$ و $C$ و $D$ متداورة
4

التمرين 4

التحليل

ليكن $n$ عددا صحيحا طبيعيا

نعتبر الدالة العددية $f_{n}$ للمتغير الحقيقي $x$ المعرفة على $ℝ$ بما يلي

$f_{n} (x) = \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)}}$

وليكن $(C_{n})$ المنحنى الممثل للدالة $f_{n}$ في معلم متعامد ممنظم $(O, \vec{i}, \vec{j})$

$1$

$أ$ احسب $\lim_{x \to + \infty} f_{n} (x)$ و $\lim_{x \to - \infty} f_{n} (x)$ ثم أول مبيانيا النتيجتين المحصل عليهما

$ب$ بين أن الدالة $f_{n}$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ ثم احسب $f'_{n} (x)$ لكل $x$ من $ℝ$

$ج$ بين أن الدالة $f_{n}$ تزايدية قطعا على $ℝ$

$2$

$أ$ بين أن النقطة $I_{n} (n, \frac{1}{2})$ مركز تماثل للمنحنى $(C_{n})$

$ب$ انشئ المنحنى $(C_{1})$

$ج$ احسب مساحة الحيز المستوي المحصور بين المنحنى $(C_{1})$ والمستقيمات $x = 0$ و $x = 1$ و $y = 0$

$3$

$أ$ لكل $n$ من $ℕ *$ ، بين أن المعادلة $f_{n} (x) = x$ تقبل حلا وحيدا $u_{n}$ في المجال $] 0, n [$

$ب$ بين أن $(\forall n \in ℕ *) (\forall x \in ℝ) f_{n + 1} (x) < f_{n} (x)$

$ج$ بين أن المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ تناقصية قطعا ثم استنتج أنها متقاربة

$د$ احسب $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$

التحليل

$1$

$أ$ لدينا

$\lim_{x \to + \infty} e^{- \frac{3}{2} (x - n)} = 0 \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} f_{n} (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)}} = 1$

إذن $(C_{n})$ يقبل مقاربا عند $+ \infty$ معادلته $y = 1$

ولدينا

$\lim_{x \to - \infty} e^{- \frac{3}{2} (x - n)} = + \infty \Rightarrow \lim_{x \to - \infty} f_{n} (x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)}} = 0$

إذن $(C_{n})$ يقبل مقاربا عند $- \infty$ معادلته $y = 0$

$ب$ الدالة $x \to e^{- \frac{3}{2} (x - n)}$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$

إذن الدالة $x \to 1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)}$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$

وبما أن $\forall x \in ℝ; 1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)} \neq 0$ فإن الدالة $f_{n}$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$

$(\forall x \in ℝ); f'_{n} (x) = \frac{3}{2} \frac{e^{- \frac{3}{2} (x - n)}}{{(1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)})}^{2}}$

$ج$

$(\forall x \in ℝ); f'_{n} (x) > 0$ إذن الدالة $f_{n}$ تزايدية قطعا على $ℝ$

$2$

$أ$ لدينا

$f_{n} (2 n - x) = \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (2 n - x - n)}} f_{n} (2 n - x) = \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (n - x)}} f_{n} (2 n - x) = \frac{e^{- \frac{3}{2} (x - n)}}{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)}} f_{n} (2 n - x) = 1 - \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)}} f_{n} (2 n - x) = 1 - f_{n} (x)$

إذن النقطة $I_{n} (n, \frac{1}{2})$ مركز تماثل للمنحنى $(C_{n})$

$ب$ المنحنى $(C_{1})$

$f_{1} (x) = \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - 1)}}$

$ج$ لدينا

$\int_{0}^{1} f_{1 (x)} d x = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - 1)}} d x \int_{0}^{1} f_{1 (x)} d x = \int_{0}^{1} \frac{e^{\frac{3}{2} (x - 1)}}{1 + e^{\frac{3}{2} (x - 1)}} d x \int_{0}^{1} f_{1 (x)} d x = \frac{2}{3} {[\ln (1 + e^{\frac{3}{2} (x - 1)})]}_{0}^{1} \int_{0}^{1} f_{1 (x)} d x = \frac{2}{3} (\ln 2 - \ln (1 + e^{- \frac{3}{2}})) \int_{0}^{1} f_{1 (x)} d x = \frac{2}{3} \ln (\frac{2}{1 + e^{- \frac{3}{2}}})$

إذن مساحة الحيز المستوي المحصور بين المنحنى $(C_{1})$ والمستقيمات $x = 0$ و $x = 1$ و $y = 0$ هي

$S = \frac{2}{3} \ln (\frac{2}{1 + e^{- \frac{3}{2}}})$

$3$

$أ$ ليكن $n$ من $ℕ *$ ، نضع $g_{n} (x) = f_{n} (x) - x$

$g_{n}$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$

$(\forall x \in ℝ) g'_{n} (x) = \frac{3}{2} \frac{e^{- \frac{3}{2} (x - n)}}{{(1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)})}^{2}} - 1 g'_{n} (x) = - \frac{2 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)} + 2 e^{- 3 (x - n)}}{2 {(1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)})}^{2}} g'_{n} (x) < 0$

ومنه $g_{n}$ تناقصية قطعا على $ℝ$

وبما أن $g_{n} (0) = \frac{1}{1 + e^{\frac{3}{2} n}} > 0$ و $g_{n} (n) = \frac{1}{1 + 1} - n = \frac{1}{2} - n < 0$

فإنه وحسب مبرهنة القيم الوسيطية المعادلة $f_{n} (x) = x$ تقبل حلا وحيدا $u_{n}$ في المجال $] 0, n [$

$ب$ لدينا

$(\forall n \in ℕ *) (\forall x \in ℝ) A = f_{n + 1} (x) - f_{n} (x) A = \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n - 1)}} - \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)}} A = \frac{1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)} - 1 - e^{- \frac{3}{2} (x - n - 1)}}{(1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n - 1)}) (1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)})} A = \frac{e^{- \frac{3}{2} (x - n)} (1 - e^{\frac{3}{2}})}{(1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n - 1)}) (1 + e^{- \frac{3}{2} (x - n)})} A < 0$

إذن $(\forall n \in ℕ *) (\forall x \in ℝ) f_{n + 1} (x) < f_{n} (x)$

$ج$ لدينا

$(\forall n \in ℕ *) (\forall x \in ℝ) f_{n + 1} (x) < f_{n} (x) \Rightarrow f_{n + 1} (x) - x < f_{n} (x) - x \Rightarrow g_{n + 1} (x) < g_{n} (x) \Rightarrow g_{n + 1} (u_{n + 1}) < g_{n} (u_{n + 1}) \Rightarrow g_{n} (u_{n}) < g_{n} (u_{n + 1})$

وبما أن $g_{n}$ تناقصية قطعا على $ℝ$ فإن $(\forall n \in ℕ *) u_{n} > u_{n + 1}$

إذن المتتالية ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ تناقصية قطعا

وبما أنها مصغورة ب $0$ فهي متقاربة

$د$ لدينا $(\forall n \in ℕ *) f_{n} (u_{n}) = u_{n}$

إذن

$\lim_{n \to + \infty} u_{n =} \lim_{n \to + \infty} f_{n} (u_{n}) \lim_{n \to + \infty} u_{n =} \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{1 + e^{- \frac{3}{2} (u_{n} - n)}} = 0 \lim_{n \to + \infty} u_{n =} 0$
5

التمرين 5

التحليل

نعتبر الدالة العددية $g$ المعرفة على $ℝ *$ بما يلي $g (x) = \int_{x}^{3 x} \frac{\cos t}{t} d t$

$1$ بين أن الدالة $g$ زوجية

$2$ بين أن الدالة $g$ قابلة للاشتقاق على $] 0, + \infty [$ ثم احسب $g' (x)$ من أجل $x > 0$

$3$

$أ$ باستعمال المكاملة بالأجزاء، تحقق أن

$(\forall x > 0) \int_{x}^{3 x} \frac{\cos t}{t} d t = \frac{\sin 3 x - 3 \sin x}{3 x} + \int_{x}^{3 x} \frac{\sin t}{t^{2}} d t$

$ب$ بين أنه لكل $x$ من المجال $] 0, + \infty [$ لدينا $|g (x)| \leq \frac{2}{x}$ ثم استنتج $\lim_{x \to + \infty} g (x)$

$4$

$أ$ بين أن $(\forall x > 0) 0 \leq \int_{x}^{3 x} \frac{1 - \cos t}{t} d t \leq 2 x$

(لاحظ أن $(\forall t > 0) 1 - \cos t \leq t$ )

$ب$ تحقق أن $(\forall x > 0) g (x) - \ln 3 = \int_{x}^{3 x} \frac{\cos t - 1}{t} d t$

$ج$ استنتج $\lim_{x \to 0^{+}} g (x)$

التحليل

نعتبر الدالة العددية $g$ المعرفة على $ℝ *$ بما يلي $g (x) = \int_{x}^{3 x} \frac{\cos t}{t} d t$

$1$ ليكن $x \in ℝ *$

$g (- x) = \int_{- x}^{- 3 x} \frac{\cos t}{t} d t g (- x) = \int_{x}^{3 x} \frac{\cos (- u)}{- u} (- d u) g (- x) = \int_{x}^{3 x} \frac{\cos u}{u} d u g (- x) = g (x)$

إذن الدالة $g$ زوجية

$2$

الدالة $f (t) = \frac{\cos t}{t}$ متصلة على $] 0, + \infty [$ إذن فهي تقبل دالة أصلية $F$ على هذا المجال

لدينا $g (x) = \int_{x}^{3 x} f (t) d t = F (3 x) - F (x)$

بما أن الدالة $F$ قابلة للاشتقاق (أصلية) على $] 0, + \infty [$ فإن الدالة $g$ قابلة للاشتقاق على $] 0, + \infty [$ ولدينا لكل $x > 0$

$g' (x) = 3 F' (3 x) - F' (x) g' (x) = 3 \frac{\cos 3 x}{3 x} - \frac{\cos x}{x} g' (x) = \frac{\cos 3 x - \cos x}{x}$

$3$

$أ$ ليكن $x > 0$

نضع $u = \frac{1}{t}$ و $v' = \cos t$

نجد $u' = - \frac{1}{t^{2}}$ و $v = \sin t$

باستعمال المكاملة بالأجزاء

$A = \int_{x}^{3 x} \frac{\cos t}{t} d t A = {[\frac{\sin t}{t}]}_{x}^{3 x} - \int_{x}^{3 x} - \frac{\sin t}{t^{2}} d t A = \frac{\sin 3 x}{3 x} - \frac{\sin x}{x} + \int_{x}^{3 x} \frac{\sin t}{t^{2}} d t A = \frac{\sin 3 x - 3 \sin x}{3 x} + \int_{x}^{3 x} \frac{\sin t}{t^{2}} d t$

$ب$ ليكن $x > 0$

$|g (x)| = |\frac{\sin 3 x - 3 \sin x}{3 x} + \int_{x}^{3 x} \frac{\sin t}{t^{2}} d t| |g (x)| < |\frac{\sin 3 x - 3 \sin x}{3 x}| + |\int_{x}^{3 x} \frac{\sin t}{t^{2}} d t| |g (x)| < \frac{4}{3 x} + \int_{x}^{3 x} \frac{1}{t^{2}} d t |g (x)| < \frac{4}{3 x} + \int_{x}^{3 x} \frac{1}{x^{2}} d t (x \leq t) |g (x)| < \frac{4}{3 x} + {[- \frac{1}{x}]}_{x}^{3 x} |g (x)| < \frac{4}{3 x} + \frac{2}{3 x} |g (x)| < \frac{2}{x}$

$4$

$أ$ ليكن $x > 0$

$(\forall t > 0) 1 - \cos t \leq t \Rightarrow 0 \leq \frac{1 - \cos t}{t} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \int_{x}^{3 x} \frac{1 - \cos t}{t} d t \leq \int_{x}^{3 x} d t \Rightarrow 0 \leq \int_{x}^{3 x} \frac{1 - \cos t}{t} d t \leq 2 x$

$ب$ ليكن $x > 0$

$\int_{x}^{3 x} \frac{\cos t - 1}{t} d t = g (x) - \int_{x}^{3 x} \frac{1}{t} d t \int_{x}^{3 x} \frac{\cos t - 1}{t} d t = g (x) - {[- \ln t]}_{x}^{3 x} \int_{x}^{3 x} \frac{\cos t - 1}{t} d t = g (x) - (\ln 3 x - \ln x) \int_{x}^{3 x} \frac{\cos t - 1}{t} d t = g (x) - \ln 3$

$ج$ لدينا

$0 \leq \int_{x}^{3 x} \frac{\cos t - 1}{t} d t \leq 2 x \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} \int_{x}^{3 x} \frac{\cos t - 1}{t} d t = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} g (x) - \ln 3 = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} g (x) = \ln 3$

Retour

الامتحان الوطني الموحد 2015 الدورة الإستدراكية: الموضوع والتصحيح

التمرين 1

البنيات الجبرية

الجزء الأول

الجزء الثاني

البنيات الجبرية

الجزء الأول

التمرين 2

الحسابيات وحساب الاحتمالات

الحسابيات وحساب الاحتمالات

التمرين 3

الأعداد العقدية

الأعداد العقدية

التمرين 4

التحليل

التحليل

التمرين 5

التحليل

التحليل

Maroc

France

Plus